محاسبه میانه از جدول فراوانی؛ روش تعیین داده میانی بدون خطا

پاسخ کوتاه

محاسبه میانه از جدول فراوانی زمانی ساده می‌شود که داده‌ها را به ترتیب مقدار بخوانید و فراوانی تجمعی را بسازید. اگر تعداد داده‌ها فرد باشد، جایگاه میانه برابر (n+1)/2 است؛ اگر تعداد زوج باشد، میانگین داده‌های جایگاه n/2 و n/2+1 را می‌گیریم. جدول فراوانی کمک می‌کند این جایگاه‌ها را بدون نوشتن تک‌تک داده‌ها پیدا کنیم.

محاسبه میانه از جدول فراوانی

ابتدا مقدارهای جدول را از کوچک به بزرگ مرتب و فراوانی کل را با نماد n مشخص کن. سپس فراوانی تجمعی را حساب کن؛ یعنی هر فراوانی را با مجموع ردیف‌های قبلی جمع کن. برای n فرد، جایگاه مرکزی (n+1)/2 است. برای n زوج، دو جایگاه n/2 و n/2+1 را پیدا کن و مقدارهای متناظر را میانگین بگیر. در جدول فراوانی، لازم نیست داده‌ها را بازنویسی کنی؛ کافی است ببینی جایگاه موردنظر در کدام بازه تجمعی قرار می‌گیرد.

فراوانی تجمعی را درست بساز

فرض کن مقدارهای ۲، ۴، ۶، ۸ به‌ترتیب فراوانی‌های ۳، ۲، ۴ و ۱ دارند. فراوانی کل n=10 است و فراوانی تجمعی ردیف‌ها به‌ترتیب ۳، ۵، ۹ و ۱۰ می‌شود. جایگاه‌های مرکزی ۵ و ۶ هستند. جایگاه پنجم در مقدار ۴ قرار دارد، چون تجمعی این ردیف به ۵ می‌رسد؛ جایگاه ششم در مقدار ۶ قرار دارد، چون از ۵ عبور کرده و تا ۹ ادامه دارد. پس میانه برابر (۴+۶)/۲=۵ است.

نکته مهم درباره مرز جایگاه

اگر جایگاه دقیقاً برابر فراوانی تجمعی یک ردیف باشد، همان مقدار آخرین داده آن ردیف را پوشش می‌دهد. جایگاه بعدی از ردیف بعد آغاز می‌شود. برای جلوگیری از اشتباه، روی هر ردیف بازه جایگاه‌ها را بنویس: در مثال بالا مقدار ۲ جایگاه‌های ۱ تا ۳، مقدار ۴ جایگاه‌های ۴ تا ۵، مقدار ۶ جایگاه‌های ۶ تا ۹ و مقدار ۸ جایگاه ۱۰ را دارد.

تفاوت میانه با میانگین

میانگین از مجموع همه داده‌ها به دست می‌آید، اما میانه به جایگاه داده‌های مرتب وابسته است. بنابراین وجود یک مقدار بسیار بزرگ یا بسیار کوچک معمولاً جایگاه میانه را تغییر نمی‌دهد. در سؤال‌های جدول فراوانی، پیش از محاسبه تشخیص بده سؤال درباره مرکز داده‌ها، میانگین یا میانه است؛ این دو مفهوم را با هم جایگزین نکن.

چک‌لیست حل سؤال

۱) مقدارها را از کوچک به بزرگ بررسی کن. ۲) فراوانی کل را به دست آور. ۳) اگر n فرد است یک جایگاه و اگر زوج است دو جایگاه مرکزی تعیین کن. ۴) فراوانی تجمعی را تا رسیدن به جایگاه‌ها ادامه بده. ۵) در حالت زوج، میانگین دو مقدار مرکزی را حساب کن. ۶) نتیجه را با این کنترل بررسی کن که میانه باید بین کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین مقدار جدول باشد.

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

میانه از جدول فراوانی با جایگاه داده‌ها پیدا می‌شود، نه با جمع‌کردن مستقیم مقدارها. فراوانی تجمعی پل ارتباطی میان جایگاه و مقدار جدول است. اگر تعداد داده‌ها فرد باشد یک مقدار مرکزی داریم و اگر زوج باشد میانگین دو مقدار مرکزی پاسخ است.

پیوندهای داخلی

related_links: statistics-variance-konkur

تمرین خودسنجی با پاسخ