تشخیص میانه از جدول فراوانی؛ جایگاه داده را درست پیدا کن

پاسخ کوتاه

برای تشخیص میانه از جدول فراوانی، ابتدا مجموع فراوانی‌ها را به دست بیاور، سپس جایگاه میانی داده‌های مرتب‌شده را مشخص کن و با کمک فراوانی تجمعی ببین آن جایگاه در کدام مقدار قرار می‌گیرد. اگر تعداد کل داده‌ها زوج باشد، معمولاً باید دو جایگاه میانی را بررسی و مقدارهای متناظرشان را میانگین بگیری.

## پاسخ کوتاه و ایده اصلی

جدول فراوانی به‌جای نوشتن تک‌تک داده‌ها، هر مقدار و تعداد تکرار آن را نشان می‌دهد. میانه مقداری است که داده‌های مرتب‌شده را از نظر جایگاه به دو نیمه تقسیم می‌کند. بنابراین خودِ بیشترین فراوانی الزاماً میانه نیست؛ باید جایگاه داده‌ها را دنبال کنیم. ابزار اصلی این کار، فراوانی تجمعی است؛ یعنی جمع فراوانی ردیف جاری و همه ردیف‌های بالاتر از آن.

## تشخیص میانه از جدول فراوانی

فرض کن مقدارهای ۲، ۴، ۷ و ۹ به‌ترتیب فراوانی‌های ۳، ۲، ۴ و ۱ دارند. مجموع داده‌ها برابر ۱۰ است، پس دو جایگاه میانی جایگاه پنجم و ششم‌اند. فراوانی تجمعی ردیف‌ها به‌ترتیب ۳، ۵، ۹ و ۱۰ می‌شود. هم جایگاه پنجم و هم جایگاه ششم در ردیف مقدار ۷ قرار گرفته‌اند؛ بنابراین میانه برابر ۷ است. توجه کن که مقدار ۴ با وجود رسیدن فراوانی تجمعی به ۵، فقط جایگاه‌های چهارم و پنجم را کامل نمی‌کند؛ در این مثال جایگاه پنجم آخرین مشاهده مقدار ۴ است و جایگاه ششم نخستین مشاهده مقدار ۷ خواهد بود. پس با دقت، جدول را چنین می‌خوانیم: سه داده ۲، دو داده ۴، چهار داده ۷ و یک داده ۹؛ جایگاه پنجم برابر ۴ و جایگاه ششم برابر ۷ است، بنابراین میانه (۴+۷)/۲=۵٫۵ می‌شود.

## ساختن فراوانی تجمعی بدون خطا

مقدارها باید از کوچک به بزرگ مرتب باشند. در ردیف اول، فراوانی تجمعی همان فراوانی همان ردیف است. در هر ردیف بعدی، عدد قبلی را با فراوانی جدید جمع کن. اگر فراوانی‌ها ۲، ۵، ۱ و ۳ باشند، فراوانی تجمعی ۲، ۷، ۸ و ۱۱ خواهد بود. در پایان، آخرین فراوانی تجمعی باید با مجموع همه فراوانی‌ها برابر باشد؛ این کنترل ساده بسیاری از خطاهای محاسباتی را آشکار می‌کند.

## تعداد فرد و تعداد زوج چه تفاوتی دارد؟

اگر مجموع فراوانی‌ها فرد باشد، جایگاه میانی برابر (n+1)/2 است. برای n=۹، جایگاه پنجم را پیدا می‌کنیم. اگر n زوج باشد، دو جایگاه n/2 و n/2+1 اهمیت دارند. برای n=۱۲ باید جایگاه‌های ششم و هفتم را بیابیم و میانگین دو مقدار متناظر را حساب کنیم. ممکن است هر دو جایگاه در یک ردیف باشند؛ در این حالت میانه همان مقدار ردیف است. اگر در دو ردیف جدا باشند، میانگین آن دو مقدار را بگیر.

## مثال محاسباتی کامل

جدول فرضی زیر را در نظر بگیر: مقدارهای ۱۰، ۱۲، ۱۵ و ۲۰ با فراوانی‌های ۲، ۳، ۴ و ۱. مجموع فراوانی‌ها ۱۰ است، پس جایگاه‌های میانی پنجم و ششم‌اند. فراوانی تجمعی ۲، ۵، ۹ و ۱۰ می‌شود. جایگاه پنجم در مقدار ۱۲ قرار دارد و جایگاه ششم در مقدار ۱۵؛ بنابراین میانه برابر (۱۲+۱۵)/۲=۱۳٫۵ است. برای اطمینان، می‌توانی داده‌ها را به‌صورت فشرده بنویسی: ۱۰،۱۰،۱۲،۱۲،۱۲،۱۵،۱۵،۱۵،۱۵،۲۰. داده‌های پنجم و ششم همان ۱۲ و ۱۵ هستند.

## چک‌لیست حل تست

۱) مقدارها را از کوچک به بزرگ مرتب کن. ۲) مجموع فراوانی‌ها را حساب کن. ۳) فرد یا زوج بودن مجموع را تعیین کن. ۴) یک یا دو جایگاه میانی را بنویس. ۵) فراوانی تجمعی بساز. ۶) جایگاه‌ها را به مقدارهای متناظر وصل کن. ۷) در حالت زوج، میانگین دو مقدار را بگیر. ۸) بررسی کن میانه بین کمینه و بیشینه باشد. اشتباه رایج این است که دانش‌آموز میانگین مقدارهای جدول را بدون توجه به فراوانی‌ها حساب می‌کند؛ این روش فقط وقتی درست است که همه مقدارها یک بار تکرار شده باشند.

## جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

میانه به جایگاه وابسته است، نه به جمع ساده مقدارهای نوشته‌شده در جدول. فراوانی تجمعی کمک می‌کند بدون بازنویسی همه داده‌ها، جایگاه میانی را پیدا کنیم. همیشه مجموع فراوانی‌ها و مرتب بودن مقدارها را کنترل کن.

## تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: مقدارهای ۱، ۳، ۵ و ۸ به‌ترتیب فراوانی‌های ۲، ۴، ۱ و ۳ دارند. میانه را بیابید. پاسخ: مجموع فراوانی‌ها ۱۰ است؛ جایگاه‌های پنجم و ششم را بررسی می‌کنیم. فراوانی تجمعی ۲، ۶، ۷ و ۱۰ است. هر دو جایگاه پنجم و ششم در ردیف مقدار ۳ قرار دارند، پس میانه ۳ است. تمرین ۲: مقدارهای ۴، ۶، ۹ و ۱۱ به‌ترتیب فراوانی‌های ۱، ۲، ۳ و ۲ دارند. پاسخ: مجموع برابر ۸ است و جایگاه‌های میانی چهارم و پنجم‌اند. فراوانی تجمعی ۱، ۳، ۶ و ۸ می‌شود. جایگاه چهارم و پنجم هر دو در مقدار ۹ قرار دارند؛ بنابراین میانه ۹ است. تمرین ۳: مقدارهای ۲، ۵ و ۷ به‌ترتیب فراوانی‌های ۳، ۲ و ۲ دارند. پاسخ: مجموع ۷ و جایگاه میانی چهارم است. فراوانی تجمعی ردیف‌ها ۳، ۵ و ۷ است؛ جایگاه چهارم در ردیف مقدار ۵ قرار دارد، پس میانه ۵ است.

تمرین خودسنجی با پاسخ