قضیه منلائوس؛ همخطی نقاط و نسبتهای ضلع مثلث
آموزش تشخیص خط قاطع مثلث، نوشتن نسبتهای منلائوس و استفاده از نسبتهای جهتدار در تست هندسه.
پاسخ کوتاه
قضیه منلائوس معیاری برای همخطی سه نقطه روی ضلعها یا امتداد ضلعهای یک مثلث است. با انتخاب منظم نقطههای برخورد و حفظ ترتیب نسبتها، میتوان طول مجهول یا همخطی را بدون ساختن چند تشابه جداگانه به دست آورد.
بیان قضیه
در مثلث ABC اگر خطی ضلعهای AB، BC و CA یا امتداد آنها را بهترتیب در F، D و E قطع کند، حاصلضرب نسبتهای جهتدار AF/FB، BD/DC و CE/EA برابر منفی یک است. در محاسبات طولی، معمولاً قدرمطلق حاصلضرب یک میشود.
ساخت چرخه نسبتها
از یک رأس شروع کن و روی محیط مثلث در یک جهت حرکت کن. در هر نسبت، پارهخط نزدیک رأس جاری را بر بخش بعدی بنویس؛ پایبندی به یک چرخه ثابت مانع وارونهشدن تصادفی یکی از سه نسبت میشود.
نقطه روی امتداد
یک خط نمیتواند هر سه ضلع مثلث را درون پارهخطها قطع کند؛ معمولاً دستکم یک برخورد روی امتداد است. در نسبت جهتدار همین وضعیت علامت منفی لازم را میسازد؛ در روش قدرمطلق باید جای نقطه را از شکل جداگانه کنترل کرد.
عکس منلائوس
اگر سه نقطه روی خطوط حامل ضلعها قرار داشته باشند و حاصلضرب نسبتهای جهتدار آنها منفی یک شود، آن سه نقطه همخطاند. این عکس در تستهایی که باید همخطی را اثبات یا گزینه درست را انتخاب کرد، مستقیم کاربرد دارد.
مثال حلشده
اگر F روی AB باشد و AF/FB=2، D روی BC باشد و BD/DC=3 و E روی امتداد CA قرار گیرد، در قدرمطلق داریم 2×3×|CE/EA|=1؛ پس |CE/EA|=1/6 است. موقعیت امتدادی علامت جهتدار را تعیین میکند.
راهبرد تستی
پیش از نوشتن فرمول، مثلث مرجع و خط قاطع را با رنگ یا علامت مشخص کن. نسبتها باید هر سه ضلع را دقیقاً یک بار پوشش دهند. پس از یافتن طول، مثبتبودن و محل هندسی نقطه را با شکل کنترل کن.
چکلیست حل تست
- سه نسبت باید سه ضلع مثلث را یک بار پوشش دهند.
- نقطه روی امتداد را در علامت نسبت لحاظ کن.
- عکس قضیه ابزار اثبات همخطی است.