اصل ضرب در شمارش حالت‌های مستقل؛ روش حل مسئله‌های چندمرحله‌ای

پاسخ کوتاه

اصل ضرب در شمارش حالت‌های مستقل زمانی به کار می‌رود که یک کار در چند مرحله انجام شود و برای هر انتخاب مرحله قبل، تعداد انتخاب‌های مرحله بعد ثابت بماند. در این حالت، تعداد کل حالت‌ها برابر حاصل‌ضرب تعداد انتخاب‌های هر مرحله است؛ مثلاً اگر برای مرحله اول ۳ انتخاب و برای مرحله دوم ۴ انتخاب داشته باشیم، در مجموع ۳×۴=۱۲ حالت ساخته می‌شود.

اصل ضرب در شمارش حالت‌های مستقل

برای استفاده از این اصل، مسئله را به مراحل پشت‌سرهم تقسیم کن. اگر مرحله اول به a روش و برای هر نتیجه آن، مرحله دوم به b روش انجام شود، تعداد کل حالت‌ها ab است. منظور از مستقل در اینجا این نیست که موضوع حتماً احتمال داشته باشد؛ کافی است تعداد انتخاب‌های مرحله دوم به انتخاب مرحله اول وابسته نباشد.

تشخیص مرحله‌های مسئله

کلمه‌هایی مانند «و سپس»، «همراه با»، «ابتدا ... بعد ...» معمولاً نشانه کنار هم قرار گرفتن انتخاب‌ها هستند. برای هر مرحله یک جای خالی رسم کن و تعداد گزینه‌های آن را بنویس. اگر یک انتخاب از مرحله اول گزینه‌های مرحله دوم را حذف یا اضافه می‌کند، تعدادها ثابت نیستند و باید حالت‌ها جداگانه بررسی شوند.

مثال انتخاب رمز

فرض کن رمزی از دو حرف فارسی متفاوت و سپس یک رقم ساخته می‌شود و تکرار حرف مجاز نیست. اگر ۲۸ حرف را در نظر بگیریم، برای حرف اول ۲۸ انتخاب، برای حرف دوم ۲۷ انتخاب و برای رقم ۱۰ انتخاب داریم. بنابراین تعداد رمزها برابر ۲۸×۲۷×۱۰=۷۵۶۰ است. ترتیب دو حرف مهم است، چون «الف، ب» با «ب، الف» یک رمز یکسان نیست.

وقتی باید جمع کنیم، نه ضرب

اگر سؤال از انتخاب یکی از چند گروه جدا از هم صحبت کند، اصل جمع به کار می‌رود. برای نمونه، اگر دانش‌آموز بتواند یکی از ۴ کتاب هندسه یا یکی از ۳ کتاب آمار را انتخاب کند، تعداد انتخاب‌ها ۴+۳=۷ است؛ چون هم‌زمان هر دو کتاب را برنمی‌گزیند. در مسائل چندبخشی، گاهی ابتدا درون هر حالت ضرب و سپس حالت‌های جدا از هم با هم جمع می‌شوند.

کنترل پاسخ و خطاهای رایج

بررسی کن که آیا ترتیب مهم است، تکرار مجاز است و تعداد گزینه‌ها در هر مرحله واقعاً ثابت است یا نه. اگر سه مرحله هرکدام ۵ گزینه داشته باشند، پاسخ ۵³ است، نه ۱۵. همچنین اگر مرحله دوم به انتخاب اول وابسته باشد، یک ضرب ساده ممکن است پاسخ نادرست بدهد. نوشتن چند حالت کوچک برای آزمون، راه خوبی برای کنترل فرمول است.

چک‌لیست حل سریع

۱) کار را به مراحل تبدیل کن. ۲) تعداد انتخاب‌های هر مرحله را بنویس. ۳) بررسی کن مراحل پشت‌سرهم‌اند یا گزینه‌های جایگزین. ۴) در حالت اول ضرب و در حالت دوم جمع کن. ۵) محدودیت‌هایی مانند تکرارنشدن یا ممنوع‌بودن یک گزینه را اعمال کن. ۶) پاسخ را با یک نمونه کوچک یا شمارش مستقیم کنترل کن.

جمع‌بندی اصل شمارش

هرگاه یک انتخاب کامل از چند مرحله متوالی تشکیل شود، تعداد حالت‌های کل از ضرب تعداد انتخاب‌های مرحله‌ها به دست می‌آید. اگر انتخاب‌ها رقیب یکدیگر باشند، جمع مناسب‌تر است. تشخیص ساختار مسئله از حفظ‌کردن فرمول مهم‌تر است؛ چون یک سؤال ممکن است هم‌زمان چند ضرب و یک جمع داشته باشد. قبل از محاسبه، مسیر انتخاب را دقیق بنویس.

تمرین خودسنجی با پاسخ