تابع زوج و فرد؛ تشخیص جبری، نمودار و دامهای تستی
آموزش تشخیص تابع زوج و فرد از دامنه، ضابطه و نمودار و بررسی رفتار جمع، ضرب و ترکیب توابع در تست.
پاسخ کوتاه
زوج یا فرد بودن یک تابع فقط با جایگذاری منفی x مشخص نمیشود؛ دامنه نیز باید نسبت به صفر متقارن باشد. پس ابتدا بررسی میکنیم همراه هر x، عدد منفی x هم در دامنه باشد و سپس f(-x) را با f(x) و -f(x) مقایسه میکنیم.
شرط تقارن دامنه
اگر دامنه نسبت به صفر متقارن نباشد، تابع روی آن دامنه نه زوج است و نه فرد. برای مثال ضابطه x² روی بازه [0,∞) با وجود شکل جبری آشنا، تابع زوج محسوب نمیشود؛ زیرا منفی بیشتر ورودیها در دامنه نیست.
آزمون جبری
پس از تأیید دامنه، در ضابطه به جای x مقدار -x قرار بده و ساده کن. اگر برای همه ورودیها f(-x)=f(x) باشد تابع زوج و اگر f(-x)=-f(x) باشد تابع فرد است؛ در غیر این صورت هیچکدام نیست.
تقارن نمودار
نمودار تابع زوج نسبت به محور y و نمودار تابع فرد نسبت به مبدأ تقارن دارد. دانستن نیمه نمودار برای ساخت نیمه دیگر کافی است؛ نقطه (a,b) در تابع زوج به (-a,b) و در تابع فرد به (-a,-b) تبدیل میشود.
مقدار تابع فرد در صفر
اگر صفر در دامنه تابع فرد باشد، از f(0)=-f(0) نتیجه f(0)=0 میگیریم. عکس این گزاره درست نیست؛ عبور نمودار از مبدأ بهتنهایی فردبودن تابع را ثابت نمیکند و تقارن کل نمودار لازم است.
عملیات روی توابع
جمع دو تابع زوج زوج و جمع دو تابع فرد فرد است. حاصلضرب دو تابع همنوع زوج و حاصلضرب یک تابع زوج و یک تابع فرد، فرد میشود؛ این قواعد فقط روی دامنه مشترکِ متقارن قابل استفادهاند.
مثال و تست کوتاه
برای f(x)=x³-4x داریم f(-x)=-x³+4x=-(x³-4x)، پس تابع فرد است. اما g(x)=x²+x نه زوج است نه فرد، چون g(-x)=x²-x با g(x) و -g(x) برابر نیست.
چکلیست حل تست
- پیش از جایگذاری، تقارن دامنه را کنترل کن.
- تقارن محور y نشانه زوج و تقارن مبدأ نشانه فرد است.
- عبور از مبدأ بهتنهایی فردبودن را ثابت نمیکند.