تشخیص تابع یک‌به‌یک؛ آزمون خط افقی و حل جبری

پاسخ کوتاه

تابع یک‌به‌یک دو ورودی متفاوت را به یک خروجی مشترک نمی‌فرستد. این ویژگی را می‌توان با خط افقی روی نمودار یا با فرض f(x₁)=f(x₂) در ضابطه بررسی کرد. توجه به دامنه حیاتی است، چون یک ضابطه ممکن است روی یک بازه یک‌به‌یک و روی دامنه بزرگ‌تر غیر یک‌به‌یک باشد.

تعریف منطقی

اگر از f(x₁)=f(x₂) بتوان نتیجه گرفت x₁=x₂، تابع یک‌به‌یک است. صورت هم‌ارز آن می‌گوید x₁≠x₂ باید f(x₁)≠f(x₂) بسازد. برای ردکردن ویژگی، یافتن فقط یک جفت ورودی متفاوت با خروجی برابر کافی است.

آزمون خط افقی

هر خط افقی y=c را روی نمودار تصور کن. اگر هیچ خط افقی نمودار را بیش از یک‌بار قطع نکند، تابع یک‌به‌یک است. آزمون خط عمودی موضوع دیگری است و فقط تعیین می‌کند یک نمودار اصلاً نمایش تابع هست یا نه.

روش جبری

برای f(x)=3x-5، فرض 3x₁-5=3x₂-5 مستقیم x₁=x₂ می‌دهد. اما برای f(x)=x² روی اعداد حقیقی، f(2)=f(-2) است؛ پس تابع یک‌به‌یک نیست. در روش جبری باید دامنه مجاز x₁ و x₂ حفظ شود.

نقش یکنواختی

تابعی که روی کل دامنه اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد یک‌به‌یک است، چون ترتیب ورودی‌ها خروجی‌های متفاوت می‌سازد. یکنواختی غیراکید به‌تنهایی کافی نیست؛ یک قسمت ثابت می‌تواند چند ورودی را به یک خروجی بفرستد.

محدودکردن دامنه

ضابطه x² روی ℝ یک‌به‌یک نیست، ولی روی [0,∞) اکیداً صعودی و یک‌به‌یک می‌شود؛ روی (-∞,0] نیز اکیداً نزولی است. هنگام محدودکردن دامنه باید بازه‌ای انتخاب شود که هر خط افقی حداکثر یک برخورد داشته باشد.

دام تستی

برابرنبودن مقادیر در چند نمونه، اثبات یک‌به‌یکی نیست و باید استدلال کلی داشته باشیم. همچنین تابع ثابت روی دامنه تک‌عضوی یک‌به‌یک است، اما روی دامنه‌ای با دست‌کم دو عضو نیست. همیشه دامنه را پیش از قضاوت بخوان.

تمرین خودسنجی با پاسخ