تشخیص سهمی از تعریف فاصله کانون و خط راهنما؛ روش حل مسئله

پاسخ کوتاه

اگر هر نقطه از یک مکان هندسی فاصله‌ای برابر از یک نقطه ثابت و یک خط ثابت داشته باشد، آن مکان سهمی است. در این درس، تشخیص سهمی از تعریف فاصله کانون و خط راهنما را با استخراج معادله، تعیین رأس و حل یک مثال محاسباتی یاد می‌گیرید.

## تشخیص سهمی از تعریف فاصله کانون و خط راهنما

سهمی مکان هندسی نقاطی است که فاصله‌شان از یک نقطه ثابت، یعنی کانون، با فاصله‌شان از یک خط ثابت، یعنی خط راهنما، برابر باشد. اگر نقطه متحرک را P(x,y)، کانون را F(a,b) و خط راهنما را به شکل Ax+By+C=0 بنویسیم، دو فاصله را برابر قرار می‌دهیم. فاصله از کانون با فرمول رادیکالی و فاصله از خط با قدرمطلق صورت و تقسیم بر ریشه A²+B² محاسبه می‌شود.

## پاسخ مستقیم: ساختن معادله مکان هندسی

برای حل چنین سؤال‌هایی، ابتدا مختصات نقطه متحرک را بنویسید، سپس فاصله آن از کانون و خط راهنما را جداگانه پیدا کنید. برابری دو فاصله معمولاً یک معادله دارای رادیکال می‌سازد. پس از به توان دو رساندن دو طرف، عبارت درجه دوم به دست می‌آید که معادله سهمی است. پیش از مربع‌کردن، باید مطمئن شوید هر دو طرف فاصله‌اند و نامنفی هستند.

## استخراج رأس و محور تقارن

در ساده‌ترین حالت، اگر کانون F(p,q) و خط راهنما y=q−p باشند، سهمی محور افقی دارد و معادله آن (y−q)²=4p(x−q) است؛ البته علامت p جهت بازشدن را تعیین می‌کند. اگر خط راهنما y=q+p باشد، همین ساختار با علامت مخالف ظاهر می‌شود. رأس سهمی در میانه کانون و نزدیک‌ترین نقطه خط راهنما قرار دارد و محور تقارن از کانون و رأس عبور می‌کند.

## مثال محاسباتی مرحله‌به‌مرحله

کانون را F(2,0) و خط راهنما را x=−2 در نظر بگیرید. برای نقطه P(x,y)، فاصله از کانون برابر √((x−2)²+y²) و فاصله از خط برابر |x+2| است. با برابر قرار دادن و مربع کردن داریم: (x−2)²+y²=(x+2)². پس x²−4x+4+y²=x²+4x+4 و در نتیجه y²=8x. بنابراین رأس در مبدأ مختصات است، محور تقارن محور xهاست و سهمی به سمت راست باز می‌شود.

## کنترل جواب و خطاهای رایج

در محاسبه فاصله از خط، مخرج فرمول را حذف نکنید؛ برای خط‌های عمومی Ax+By+C=0 باید بر √(A²+B²) تقسیم شود. در خط‌های عمودی مانند x=c، فاصله نقطه P(x,y) برابر |x−c| است. هنگام مربع کردن، اگر مسئله نامعادله یا معادله‌ای با شرط‌های اضافی داشته باشد، جواب‌های به‌دست‌آمده را در تعریف اولیه کنترل کنید. همچنین خط راهنما با محور تقارن یا خود سهمی یکی نیست.

## کاربرد در پرسش‌های کنکوری

گاهی سؤال مستقیماً معادله را نمی‌خواهد و فقط رأس، جهت بازشدن، فاصله کانون تا رأس یا محل برخورد با یک خط را می‌پرسد. در این حالت، ابتدا جایگاه کانون و خط راهنما را روی صفحه تصور کنید. رأس وسط پاره‌خط عمودی یا افقی میان کانون و نزدیک‌ترین نقطه خط راهنماست. سپس از معادله استخراج‌شده برای یافتن نقاط برخورد استفاده کنید و مختصات را در هر دو شرط بررسی کنید.

## تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: کانون سهمی F(0,3) و خط راهنما y=−3 است. معادله سهمی را بیابید. پاسخ: برای P(x,y)، فاصله از کانون √(x²+(y−3)²) و فاصله از خط |y+3| است. با مربع کردن، x²+(y−3)²=(y+3)²؛ بنابراین x²−6y=6y و x²=12y. رأس مبدأ و سهمی رو به بالا است. تمرین ۲: کانون F(−1,0) و خط راهنما x=1 است. جهت بازشدن و معادله را تعیین کنید. پاسخ: فاصله‌ها √((x+1)²+y²) و |x−1| هستند. پس (x+1)²+y²=(x−1)² و y²=−4x. ضریب منفی نشان می‌دهد سهمی به سمت چپ باز می‌شود و رأس آن مبدأ است.

## جمع‌بندی

تعریف سهمی یک برابری فاصله است: فاصله هر نقطه از کانون با فاصله همان نقطه از خط راهنما برابر می‌شود. با نوشتن دو فاصله، مربع کردن کنترل‌شده و ساده‌سازی، معادله سهمی به دست می‌آید. از جای کانون و خط راهنما می‌توان رأس، محور تقارن و جهت بازشدن را نیز پیش از محاسبه حدس زد؛ سپس جایگذاری در تعریف اولیه، صحت پاسخ را تأیید می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ