کسرهای جزئی در جبر کنکور؛ تجزیه کسرهای گویا با ضرایب نامعین

پاسخ کوتاه

کسرهای جزئی در جبر کنکور روشی برای تبدیل یک کسر جبری پیچیده به چند کسر ساده‌تر است؛ این تبدیل، محاسبه، ساده‌سازی و گاهی انتگرال‌گیری را آسان می‌کند. ایده اصلی آن است که ابتدا مخرج را به عامل‌های مناسب تجزیه کنیم، سپس برای هر عامل شکل درست کسر را بنویسیم و ضرایب مجهول را به دست آوریم.

ایده و شرط استفاده

این روش زمانی معنا دارد که درجه صورت از درجه مخرج کمتر باشد. اگر درجه صورت بزرگ‌تر یا مساوی درجه مخرج باشد، ابتدا تقسیم چندجمله‌ای انجام می‌دهیم. برای نمونه، در کسر (2x+3)/(x(x+1))، چون مخرج دو عامل خطی متفاوت دارد، شکل مناسب A/x+B/(x+1) است.

کسرهای جزئی در جبر کنکور

برای کسر (2x+3)/(x(x+1))، دو طرف تساوی را در x(x+1) ضرب می‌کنیم: 2x+3=A(x+1)+Bx. با قرار دادن x=0، مقدار A=3 و با قرار دادن x=-1، مقدار B=1 به دست می‌آید. بنابراین کسر برابر 3/x+1/(x+1) است.

عامل‌های خطی تکراری

اگر مخرج شامل (x-a)^2 باشد، تنها نوشتن A/(x-a) کافی نیست و باید جمله‌های A/(x-a)+B/(x-a)^2 را قرار دهیم. برای توان سوم نیز هر سه توان یک، دو و سه باید حضور داشته باشند. این کار از ناقص‌شدن دستگاه ضرایب جلوگیری می‌کند.

عامل درجه دوم تجزیه‌ناپذیر

اگر عامل درجه دومی مانند x²+1 روی اعداد حقیقی تجزیه نشود، صورت کسر متناظر باید خطی باشد؛ یعنی (Ax+B)/(x²+1). برای توان‌های تکراری این عامل، صورت خطی برای هر توان جداگانه نوشته می‌شود. ثابت‌گذاشتن صورت در چنین حالتی معمولاً تعداد مجهول‌ها را کم و تساوی را نادرست می‌کند.

تعیین ضرایب با هم‌نهشتی ضرایب

جایگذاری ریشه عامل‌ها سریع‌ترین روش برای عوامل خطی است، اما همیشه ریشه ساده نداریم. در این حالت دو طرف را بسط می‌دهیم و ضرایب توان‌های برابر x را مقایسه می‌کنیم. اگر چند روش ممکن بود، می‌توان بخشی از ضرایب را با جایگذاری و بقیه را با مقایسه ضرایب یافت؛ مهم این است که در پایان همه مجهول‌ها تعیین شوند.

کنترل و خطاهای رایج

پس از به‌دست‌آوردن ضرایب، عبارت‌های حاصل را روی یک مقدار مجاز مانند x=1 آزمایش کنید؛ این مقدار نباید مخرج اصلی را صفر کند. همچنین علامت عامل‌ها را دقیق بنویسید: عامل x+2 ریشه منفی 2 دارد. حذف یک جمله، بی‌توجهی به درجه صورت یا ضرب‌نکردن همه جمله‌ها در مخرج از خطاهای رایج این مبحث است.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

فرایند استاندارد چنین است: اگر لازم بود تقسیم چندجمله‌ای انجام بده، مخرج را تجزیه کن، شکل عمومی کسرها را بنویس، مخرج مشترک بگیر، ضرایب را تعیین کن و جواب را کنترل کن. پاسخ تمرین ۱: تجزیه (x+5)/(x(x+2)) به شکل A/x+B/(x+2)، با جایگذاری صفر و منفی دو، برابر 5/(2x)+1/(2(x+2)) است. پاسخ تمرین ۲: برای (3x+1)/(x-1)^2، شکل A/(x-1)+B/(x-1)^2 است؛ از 3x+1=A(x-1)+B، داریم A=3 و B=4، پس نتیجه 3/(x-1)+4/(x-1)^2 خواهد بود.

تمرین خودسنجی با پاسخ