ریاضی کنکوریهمه مقالههامحاسبه درصد تغییر از مقدار اولیه و نهایی؛ آموزش با مثال
در این درس روش محاسبه درصد افزایش یا کاهش را با انتخاب مقدار اولیه به‌عنوان مخرج، مثال عددی، کنترل علامت و بررسی تغییرات متوالی یاد می‌گیرید.
پاسخ کوتاه
محاسبه درصد تغییر از مقدار اولیه و نهایی با یک نسبت ساده انجام می‌شود: اختلاف مقدار نهایی و مقدار اولیه را بر مقدار اولیه تقسیم و حاصل را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم. اگر پاسخ مثبت باشد افزایش و اگر منفی باشد کاهش رخ داده است. نکته اصلی این است که مقدار اولیه، نه مقدار نهایی، در مخرج قرار می‌گیرد؛ زیرا درصد تغییر، اندازه تغییر را نسبت به نقطه شروع می‌سنجد. در ادامه این روش را با مثال، جدول مراحل و تمرین‌های خودسنجی بررسی می‌کنیم.
محاسبه درصد تغییر از مقدار اولیه و نهایی
فرمول کلی چنین است: درصد تغییر = ((مقدار نهایی − مقدار اولیه) ÷ مقدار اولیه) × ۱۰۰. ابتدا اختلاف را پیدا کن، سپس آن را بر مقدار شروع تقسیم کن و در پایان در ۱۰۰ ضرب کن. برای مقدار اولیه ۸۰ و مقدار نهایی ۱۰۰ داریم: (۱۰۰−۸۰)÷۸۰×۱۰۰ = ۲۵٪؛ بنابراین مقدار ۲۵ درصد افزایش یافته است.
تشخیص افزایش یا کاهش
علامت اختلاف، جهت تغییر را مشخص می‌کند. اگر مقدار اولیه ۵۰ و مقدار نهایی ۴۰ باشد، اختلاف برابر ۱۰− است و درصد تغییر برابر ۲۰− درصد می‌شود؛ یعنی کاهش ۲۰ درصدی رخ داده است. در پاسخ تشریحی بهتر است هم علامت محاسباتی و هم واژه افزایش یا کاهش را بنویسی تا تفسیر روشن باشد.
چرا مخرج باید مقدار اولیه باشد؟
درصد تغییر، مقایسه با وضعیت آغازین است. اگر نمره‌ای از ۱۲ به ۱۵ برسد، افزایش ۳ واحد است و نسبت آن به مقدار شروع برابر ۳÷۱۲ می‌شود؛ پس افزایش ۲۵ درصدی داریم. تقسیم ۳ بر ۱۵، یعنی مقدار نهایی، سؤال دیگری را پاسخ می‌دهد و درصد تغییر نسبت به پایان را نشان می‌دهد، نه نسبت به آغاز.
مثال کاهش با کنترل محاسبه
فرض کن طول یک پاره‌خط از ۲۴ به ۱۸ واحد برسد. اختلاف نهایی و اولیه ۶− است. بنابراین درصد تغییر برابر (۶−÷۲۴)×۱۰۰ = ۲۵− درصد است. نتیجه را این‌گونه گزارش می‌کنیم: طول پاره‌خط ۲۵ درصد کاهش یافته است. برای کنترل، ۲۵ درصدِ ۲۴ برابر ۶ است؛ پس مقدار نهایی ۱۸ به‌دست می‌آید.
تفاوت درصد تغییر و اختلاف عددی
اختلاف عددی فقط تفاضل دو مقدار است و واحد همان کمیت را دارد؛ اما درصد تغییر، نسبت بدون واحد است. تغییر از ۲۰ به ۳۰ و تغییر از ۲۰۰ به ۲۱۰ هر دو افزایش ۱۰ واحدی دارند، ولی اولی ۵۰ درصد و دومی ۵ درصد است. پس از دیدن یکسان‌بودن اختلاف‌ها، درباره یکسان‌بودن تغییر نسبی نتیجه‌گیری نکن.
تغییرات متوالی را جداگانه بررسی کن
اگر مقداری ابتدا ۲۰ درصد زیاد و سپس ۲۰ درصد کم شود، به مقدار اولیه برنمی‌گردد. با مقدار شروع ۱۰۰، افزایش به ۱۲۰ می‌رسد و کاهش ۲۰ درصدیِ مقدار جدید، ۲۴ واحد است؛ بنابراین پایان کار ۹۶ خواهد بود. درصد مرحله دوم نسبت به ۱۲۰ محاسبه می‌شود، نه نسبت به ۱۰۰. همیشه پایه هر مرحله را مشخص کن.
چک‌لیست حل مسئله
مقدار اولیه و نهایی را جدا بنویس. اختلاف نهایی منهای اولیه را حساب کن. اختلاف را بر مقدار اولیه تقسیم کن. حاصل را در ۱۰۰ ضرب کن. علامت را تفسیر کن و در پایان با محاسبه معکوس کنترل کن: مقدار نهایی باید برابر مقدار اولیه ضربدر ۱ به‌علاوه نرخ افزایش یا ۱ منهای نرخ کاهش باشد.
جمع‌بندی درصد تغییر
برای سنجش تغییر نسبت به شروع، از فرمول اختلاف نهایی و اولیه تقسیم بر مقدار اولیه استفاده کن. مثبت‌بودن پاسخ نشانه افزایش و منفی‌بودن آن نشانه کاهش است. اختلاف عددی و درصد تغییر را با هم اشتباه نکن و در تغییرات چندمرحله‌ای، هر مرحله را با پایه همان مرحله بسنج. این روش در مسئله‌های عددی، آماری و کاربردی دبیرستان قابل استفاده است.
تمرین خودسنجی با پاسخ
مقدار یک کمیت از ۱۲۰ به ۱۵۰ رسیده است. درصد تغییر را بیاب و تفسیر کن.
اختلاف برابر ۱۵۰−۱۲۰=۳۰ است. بنابراین درصد تغییر برابر ۳۰÷۱۲۰×۱۰۰=۲۵٪ می‌شود. چون اختلاف مثبت است، مقدار کمیت ۲۵ درصد افزایش یافته است.
تعداد پاسخ‌های درست دانش‌آموزی از ۸۰ به ۶۸ کاهش یافته است. درصد کاهش چقدر است؟
اختلاف برابر ۶۸−۸۰=۱۲− است. قدرمطلق کاهش ۱۲ واحد است و نسبت آن به مقدار اولیه ۱۲÷۸۰=۰٫۱۵ است؛ پس کاهش برابر ۱۵ درصد است. کنترل: ۱۵ درصدِ ۸۰ برابر ۱۲ است و ۸۰−۱۲=۶۸.
قیمت یک وسیله ابتدا ۱۰ درصد افزایش و سپس ۱۰ درصد کاهش یافته است. اگر مقدار اولیه ۲۰۰ باشد، مقدار نهایی و درصد تغییر کلی را پیدا کن.
پس از افزایش، مقدار ۲۰۰×۱٫۱۰=۲۲۰ می‌شود. کاهش مرحله دوم ۱۰ درصدِ ۲۲۰، یعنی ۲۲ است؛ مقدار نهایی ۱۹۸ خواهد بود. تغییر کلی ۲− واحد است و نسبت آن به ۲۰۰ برابر ۱− درصد است؛ بنابراین نتیجه نهایی یک درصد کاهش دارد.
چک‌لیست حل تست
- مقدار اولیه را پیش از شروع محاسبه مشخص کن و آن را در مخرج قرار بده.
- اگر اختلاف منفی شد، پاسخ را کاهش تفسیر کن؛ علامت منفی را بی‌دلیل حذف نکن.
- برای بررسی سریع، درصد محاسبه‌شده را روی مقدار اولیه اعمال کن و مقدار نهایی را بازسازی کن.
- در تغییرات چندمرحله‌ای درصدها را ساده با هم جمع نکن؛ پایه هر مرحله ممکن است تغییر کرده باشد.