تابع تناوبی؛ یافتن دوره اصلی از ضابطه و نمودار

پاسخ کوتاه

تابع تناوبی پس از یک جابه‌جایی افقی مشخص، مقدارهای خود را تکرار می‌کند. اگر f(x+T)=f(x) برای همه xهای مجاز برقرار باشد، T یک دوره است. در تست‌ها معمولاً هر دوره‌ای کافی نیست و باید کوچک‌ترین دوره مثبت، یعنی دوره اصلی، پیدا شود.

تعریف دقیق دوره

عدد T>0 دوره تابع f است اگر برای هر x دامنه، x+T نیز در دامنه باشد و f(x+T)=f(x). اگر T دوره باشد، مضرب‌های صحیح مثبت آن نیز دوره‌اند؛ بنابراین نوشتن یک دوره بزرگ‌تر لزوماً پاسخ سؤال دوره اصلی نیست.

خواندن دوره از نمودار

یک الگوی کامل و قابل‌تکرار را روی محور x پیدا کن و فاصله افقی شروع دو نسخه متوالی آن را بسنج. دو نقطه هم‌ارتفاع به‌تنهایی کافی نیستند؛ شکل، جهت حرکت و همه جزئیات بازه باید پس از انتقال تکرار شوند.

اثر ضریب داخل تابع

اگر f دوره اصلی T داشته باشد، تابع g(x)=f(ax+b) معمولاً دوره T/|a| دارد. انتقال b دوره را عوض نمی‌کند و فقط نمودار را جابه‌جا می‌کند. ضریب بیرون تابع نیز دامنه عمودی را تغییر می‌دهد و بر دوره افقی اثر ندارد.

جمع دو تابع تناوبی

برای جمع دو تابع، باید یک مضرب مشترک از دوره‌های آن‌ها پیدا شود. اگر نسبت دو دوره گویا باشد، کوچک‌ترین مضرب مشترک مناسب می‌تواند دوره جمع باشد؛ ولی گاهی تقارن یا حذف جمله‌ها دوره‌ای کوچک‌تر می‌سازد، پس برابری را کنترل کن.

مثال حل‌شده

اگر f دوره 4 و g دوره 6 داشته باشند، عدد 12 دوره مشترک f+g است، زیرا هر دو تابع پس از 12 واحد تکرار می‌شوند. اما بدون اطلاعات بیشتر نمی‌توان قطعی گفت دوره اصلی جمع 12 است؛ امکان ثابت‌شدن یا ایجاد دوره کوچک‌تر وجود دارد.

دام‌های رایج

تابع ثابت هر عدد مثبت را به‌عنوان دوره می‌پذیرد و کوچک‌ترین دوره مثبت ندارد. همچنین تابعی که فقط در چند نقطه مقدار برابر دارد تناوبی نیست. شرط تکرار باید برای تمام دامنه برقرار باشد، نه فقط برای نمونه‌های انتخاب‌شده.

تمرین خودسنجی با پاسخ