معادله خط عمود بر یک خط داده‌شده؛ روش سریع از نقطه و شیب

پاسخ کوتاه

برای نوشتن معادله خط عمود بر یک خط داده‌شده، ابتدا شیب خط معلوم را پیدا کنید، سپس شیب خط عمود را به‌صورت معکوس منفی آن بنویسید و در فرم نقطه‌ـ‌شیب قرار دهید. اگر خط معلوم شیب m داشته باشد و m صفر نباشد، شیب خط عمود برابر -1/m است. در پایان، قرار دادن مختصات نقطه در معادله، سریع‌ترین راه کنترل پاسخ است.

معادله خط عمود بر یک خط داده‌شده چیست؟

اگر دو خط شیب‌های m و n داشته باشند و هر دو شیب تعریف شده باشند، عمود بودن آن‌ها با رابطه mn=-1 مشخص می‌شود. بنابراین اگر خطی شیب 3 داشته باشد، خط عمود بر آن شیب -1/3 دارد. این رابطه از این واقعیت می‌آید که تغییر افقی و عمودی دو جهت عمود، نسبت‌های متناسب اما با علامت مخالف دارند.

یافتن شیب خط معلوم

در فرم y=mx+b، ضریب x همان شیب است. اگر خط به شکل ax+by+c=0 داده شود و b صفر نباشد، ابتدا آن را به فرم y=mx+b تبدیل کنید؛ در این حالت شیب برابر -a/b است. برای خط گذرنده از دو نقطه نیز از m=(y2-y1)/(x2-x1) استفاده کنید، به شرط آنکه دو نقطه هم‌مختصات افقی نداشته باشند.

نوشتن معادله از نقطه و شیب

وقتی نقطه (x1,y1) و شیب m1 را دارید، فرم نقطه‌ـ‌شیب چنین است: y-y1=m1(x-x1). پس از جایگذاری، می‌توانید معادله را ساده یا به فرم عمومی تبدیل کنید. لازم نیست همیشه عرض از مبدأ را جداگانه حساب کنید؛ فرم نقطه‌ـ‌شیب احتمال خطای محاسباتی را کمتر می‌کند.

حالت‌های ویژه؛ خط افقی و عمودی

اگر خط معلوم افقی باشد، معادله آن y=k و شیبش صفر است. خط عمود بر آن عمودی خواهد بود و به شکل x=a نوشته می‌شود. برعکس، خط عمودی x=a شیب تعریف‌شده ندارد، اما خط عمود بر آن افقی و به شکل y=b است. در این دو حالت از رابطه معکوس منفی شیب استفاده نکنید.

مثال محاسباتی

خطی از نقاط (1,2) و (3,8) می‌گذرد و خط عمود باید از نقطه (4,1) عبور کند. شیب خط معلوم برابر (8-2)/(3-1)=3 است؛ بنابراین شیب خط عمود -1/3 می‌شود. با فرم نقطه‌ـ‌شیب داریم y-1=-(1/3)(x-4). با ضرب در 3، معادله 3y-3=-x+4 یا x+3y-7=0 به دست می‌آید. برای کنترل، نقطه (4,1) را جایگذاری کنید: 4+3-7=0؛ پس نقطه روی خط است.

خطاهای پرتکرار و چک‌لیست

اول، فقط منفی کردن شیب کافی نیست؛ باید معکوس آن نیز گرفته شود. دوم، در کسرها جای صورت و مخرج را اشتباه نکنید. سوم، نقطه داده‌شده باید در معادله نهایی صدق کند. چک‌لیست سریع این است: شیب خط معلوم، شیب عمود، فرم نقطه‌ـ‌شیب، ساده‌سازی و کنترل نقطه.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

در خط‌های غیرعمودی، شیب دو خط عمود حاصل‌ضرب -1 دارد. برای خط افقی و عمودی، شکل مستقیم معادله را به خاطر بسپارید. تمرین ۱: خط y=2x-5 و نقطه (6,4) داده شده است. پاسخ: شیب خط عمود -1/2 است؛ بنابراین y-4=-(1/2)(x-6)، یعنی x+2y-14=0. تمرین ۲: خط 4x-2y+7=0 و نقطه (2,-3) داده شده است. پاسخ: با تبدیل خط معلوم به y=2x+7/2، شیب آن 2 و شیب عمود -1/2 است. پس y+3=-(1/2)(x-2) و در نتیجه x+2y+4=0. جایگذاری نقطه در هر دو پاسخ مقدار صفر می‌دهد.

تمرین خودسنجی با پاسخ