تشخیص عمود بودن دو خط با شیب؛ از رابطه تا حل تست

پاسخ کوتاه

تشخیص عمود بودن دو خط با شیب زمانی ساده است که هر دو خط شیب تعریف‌شده داشته باشند: حاصل‌ضرب شیب‌ها باید برابر ۱- باشد. برای نمونه، شیب‌های ۲ و ۱/۲- نشان می‌دهند دو خط عمودند؛ اما خط افقی و خط عمودی را باید جداگانه بررسی کرد، چون شیب خط عمودی تعریف نشده است.

ایده اصلی تشخیص عمود بودن دو خط با شیب

اگر دو خط غیرعمودی شیب‌های m₁ و m₂ داشته باشند، شرط عمود بودن آن‌ها m₁m₂=-1 است. بنابراین شیب خطی با شیب ۳، برابر ۱/۳- برای خط عمود بر آن خواهد بود. منفی بودن یکی از شیب‌ها نیز طبیعی است، چون دو خط عمود معمولاً یکی صعودی و دیگری نزولی است.

محاسبه شیب از روی دو نقطه

برای خطی که از نقاط (x₁,y₁) و (x₂,y₂) می‌گذرد، شیب از رابطه m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁) به دست می‌آید؛ البته x₂ نباید با x₁ برابر باشد. مثلاً شیب خط گذرنده از (۱،۲) و (۵،۱۰) برابر (۱۰-۲)/(۵-۱)=۸/۴=۲ است. خط عمود بر آن باید شیب ۱/۲- داشته باشد.

تشخیص از معادله خط

اگر معادله به شکل y=mx+b باشد، ضریب x همان شیب است و b فقط عرض از مبدأ را نشان می‌دهد. برای خط‌های y=۲x+۱ و y=-x/۲+۴، حاصل‌ضرب شیب‌ها ۲×(-۱/۲)=-۱ است؛ پس این دو خط عمودند. در فرم استاندارد Ax+By+C=0 نیز، اگر B ناصفر باشد، شیب برابر -A/B است.

حالت خط افقی و عمودی

خط افقی مانند y=۵ شیب صفر دارد و خط عمودی مانند x=۳ شیب تعریف‌نشده دارد. این دو خط بر هم عمودند، هرچند نمی‌توان حاصل‌ضرب دو شیب را نوشت. پس در سؤال‌ها ابتدا شکل یا معادله را برای افقی و عمودی بودن بررسی کنید. دو خط افقی با هم موازی‌اند و دو خط عمودی نیز با هم موازی‌اند، نه عمود.

مثال محاسباتی و چک‌لیست

خطی از نقاط (۲،۱) و (۶،۳) می‌گذرد؛ شیب آن (۳-۱)/(۶-۲)=۱/۲ است. اگر خط دوم از نقاط (۰،۵) و (۴،-۳) بگذرد، شیبش (-۳-۵)/(۴-۰)=-۸/۴=-۲ می‌شود. حاصل‌ضرب ۱/۲×(-۲)=-۱، بنابراین دو خط عمودند. چک‌لیست: نقاط را درست تفریق کن، صفر بودن مخرج را بررسی کن، شیب‌ها را ساده کن و در پایان حاصل‌ضرب را بسنج.

جمع‌بندی؛ مرور نکته‌های قابل استفاده

برای دو خط غیرعمودی، نخست شیب هر خط را به دست آور و سپس حاصل‌ضرب را حساب کن. برابر شدن حاصل‌ضرب با ۱- یعنی عمود بودن؛ برابر شدن دو شیب یعنی موازی بودن، مگر آنکه دو خط یکی باشند. خط افقی و عمودی استثنای مهم‌اند و باید با شکل یا فرم معادله تشخیص داده شوند. همچنین عرض از مبدأ هیچ نقشی در شرط عمود بودن ندارد و فقط جای خط را روی صفحه تعیین می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ