زاویههای چندضلعی؛ مجموع داخلی، خارجی و تعداد قطرها
آموزش مجموع زاویههای داخلی و خارجی، زاویه چندضلعی منتظم، تعداد قطرها و مثلثبندی در تست هندسه.
پاسخ کوتاه
فرمولهای چندضلعی از تقسیم شکل به مثلثها به دست میآیند. اگر تعداد ضلعها را n بگیریم، میتوان مجموع زاویهها، اندازه هر زاویه در حالت منتظم و تعداد قطرها را با چند رابطه کوتاه محاسبه و حتی n را از روی اطلاعات سؤال پیدا کرد.
مجموع زاویههای داخلی
از یک رأس یک nضلعی محدب میتوان n-3 قطر رسم کرد و شکل را به n-2 مثلث تقسیم کرد. بنابراین مجموع زاویههای داخلی برابر (n-2)×180 درجه است. این رابطه برای چندضلعی ساده و محدب در شکل معمول تستها به کار میرود.
چندضلعی منتظم
در چندضلعی منتظم همه ضلعها و زاویهها برابرند. اندازه هر زاویه داخلی برابر [(n-2)×180]/n است. زاویه خارجی متناظر مکمل زاویه داخلی است و برای nضلعی منتظم مقدار آن 360/n درجه خواهد بود.
مجموع زاویههای خارجی
اگر در هر رأس یک زاویه خارجی همجهت برداریم، مجموع آنها برای هر چندضلعی محدب 360 درجه است. این نتیجه به منتظم بودن نیاز ندارد. در شکل نامنتظم زاویههای خارجی متفاوتاند، اما مجموع دور کامل همچنان ثابت میماند.
تعداد قطرها
از هر رأس به n-3 رأس غیرمجاور قطر میرود، پس ابتدا n(n-3) اتصال میشماریم. چون هر قطر از دو سر شمرده شده، تعداد واقعی قطرها n(n-3)/2 است. ضلعها و اتصال رأس به خودش در این شمارش قطر نیستند.
مثال و تست کوتاه
برای هشتضلعی، مجموع زاویههای داخلی 6×180=1080 درجه و تعداد قطرها 8×5/2=20 است. اگر هشتضلعی منتظم باشد، هر زاویه داخلی 1080/8=135 درجه و هر زاویه خارجی 45 درجه خواهد بود.
چکلیست حل تست
- مجموع داخلی nضلعی برابر (n-2)×180 است.
- مجموع زاویههای خارجی همجهت همیشه ۳۶۰ درجه است.
- در شمارش قطرها حاصل را بر دو تقسیم کن.