ریاضی کنکوریهمه مقالههاتبدیل مسئله حرکت به نمودار مکان-زمان؛ خواندن سرعت و توقف
راهنمای تبدیل متن مسئله‌های حرکت به نمودار مکان-زمان، تشخیص سرعت از شیب و بررسی توقف یا تغییر جهت با مثال محاسباتی.
پاسخ کوتاه
تبدیل مسئله حرکت به نمودار مکان-زمان زمانی ساده می‌شود که زمان را روی محور افقی و مکان را روی محور عمودی بگذاری. در این نمودار، شیب هر قسمت سرعت را نشان می‌دهد: شیب مثبت یعنی حرکت در جهت مثبت، شیب صفر یعنی توقف و شیب منفی یعنی بازگشت. با همین سه ایده می‌توان متن سؤال را به چند پاره‌خط تبدیل کرد و پاسخ را از روی نمودار خواند.
تبدیل مسئله حرکت به نمودار مکان-زمان
ابتدا لحظه‌های مهم متن را جدا کن: شروع حرکت، رسیدن به مقصد، توقف، برگشت یا تغییر سرعت. برای هر لحظه یک زوج مرتب به شکل (زمان، مکان) بنویس. اگر جسم در زمان صفر در مکان ۲ باشد، نقطه آغاز (۰،۲) است. اگر پس از ۴ ثانیه به مکان ۱۴ برسد، نقطه دوم (۴،۱۴) خواهد بود. سپس نقاط را به ترتیب زمانی وصل کن؛ نوع اتصال باید با متن سؤال سازگار باشد.
شیب چه چیزی را نشان می‌دهد؟
برای یک بازه خطی، سرعت برابر است با تغییر مکان تقسیم بر تغییر زمان: v=(x₂-x₁)/(t₂-t₁). مثلاً اگر جسم از (۰،۲) به (۴،۱۴) برسد، سرعت آن برابر (۱۴−۲)÷۴=۳ واحد مکان بر ثانیه است. شیب را با ارتفاع نمودار اشتباه نکن؛ مکان بزرگ‌تر لزوماً به معنی سرعت بیشتر نیست. سرعت از تندی تغییر مکان در طول زمان به دست می‌آید.
توقف و تغییر جهت روی نمودار
در بخش افقی، مکان ثابت است و جسم متوقف مانده است. اگر نمودار ابتدا صعودی و سپس نزولی شود، جسم در نقطه تغییر جهت به بیشترین مکان رسیده و بعد برگشته است. اگر نمودار نزولی و سپس صعودی شود، کمترین مکان رخ داده است. تغییر ناگهانی شیب الزاماً به معنی پرش مکان نیست؛ جسم می‌تواند با سرعتی تازه، مسیر را ادامه دهد.
مثال محاسباتی مرحله‌به‌مرحله
فرض کن جسم از مکان ۵ در زمان صفر شروع کند، در زمان ۳ به مکان ۱۷ برسد، از زمان ۳ تا ۵ همان‌جا بماند و در زمان ۸ به مکان ۸ برگردد. نقاط مهم عبارت‌اند از (۰،۵)، (۳،۱۷)، (۵،۱۷) و (۸،۸). سرعت بازه اول برابر (۱۷−۵)÷۳=۴ است. در بازه دوم سرعت صفر است. سرعت بازه سوم برابر (۸−۱۷)÷۳=−۳ است؛ علامت منفی فقط جهت حرکت به سوی مکان‌های کوچک‌تر را نشان می‌دهد.
چک‌لیست پاسخ‌گویی به سؤال
۱) واحد زمان و مکان را یکسان و دقیق بنویس. ۲) جدول زمان و مکان بساز. ۳) نقاط را با ترتیب زمانی مرتب کن. ۴) برای هر پاره‌خط، اختلاف مکان و اختلاف زمان را حساب کن. ۵) از صفر بودن شیب برای توقف استفاده کن. ۶) تقاطع نمودار با خط مکان ثابت را برای یافتن زمان رسیدن به آن مکان بررسی کن. ۷) در پایان، علامت سرعت و منطقی بودن مسیر را با متن سؤال مقایسه کن.
اشتباه‌های رایج
وصل کردن نقاط به ترتیب مکانی، به‌جای ترتیب زمانی، نمودار را نادرست می‌کند. خط افقی را گاهی با حرکت یکنواخت اشتباه می‌گیرند، در حالی که خط افقی یعنی سرعت صفر. همچنین شیب منفی به معنی مکان منفی نیست؛ ممکن است جسم در مکان‌های مثبت باشد اما به سمت مبدأ حرکت کند. در پاسخ نهایی همیشه واحدها و بازه زمانی را ذکر کن.
جمع‌بندی و تمرین خودسنجی
در نمودار مکان-زمان، محور افقی زمان، محور عمودی مکان و شیب برابر سرعت است. تمرین ۱: جسمی از مکان ۳ در زمان ۱ به مکان ۱۵ در زمان ۵ می‌رسد. سرعت متوسط را بیاب. پاسخ: تغییر مکان ۱۲ و تغییر زمان ۴ است؛ پس سرعت متوسط ۳ واحد مکان بر ثانیه است. تمرین ۲: جسمی از مکان ۱۰ به مکان ۲ می‌رود و سپس در همان بازه زمانی به مکان ۶ برمی‌گردد. آیا در تمام مسیر سرعت منفی است؟ پاسخ: خیر. بخش اول سرعت منفی دارد، اما بخش دوم چون مکان افزایش می‌یابد سرعت مثبت دارد. تمرین ۳: اگر نمودار بین زمان‌های ۶ و ۹ افقی باشد، وضعیت جسم چیست؟ پاسخ: مکان ثابت است و جسم در این بازه توقف کرده است. لینک‌های مرتبط برای مرور پیش‌نیازها: relative-speed-motion-problems-math، slope-from-line-graph-konkur و distance-midpoint-coordinate-konkur.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: جسمی در ۲ ثانیه از مکان ۴ به مکان ۱۰ می‌رود. سرعت متوسط چیست؟
تغییر مکان ۶ و تغییر زمان ۲ است؛ بنابراین سرعت متوسط ۳ واحد مکان بر ثانیه است.
تمرین ۲: نمودار مکان-زمان از (۰،۸) به (۴،۸) وصل شده است. جسم چه وضعیتی دارد؟
چون مکان در تمام بازه ثابت و شیب صفر است، جسم از زمان صفر تا ۴ در مکان ۸ متوقف است.
تمرین ۳: جسم از (۱،۱۲) به (۵،۴) می‌رود. علامت و مقدار سرعت را بیاب.
تغییر مکان ۴−۱۲=−۸ و تغییر زمان ۵−۱=۴ است؛ پس سرعت برابر −۲ واحد مکان بر ثانیه است. علامت منفی نشان می‌دهد مکان جسم کاهش یافته است.
چک‌لیست حل تست
- زوج‌های (زمان، مکان) را پیش از رسم نمودار بنویس.
- شیب هر بازه را جداگانه محاسبه کن.
- شیب منفی را با مکان منفی اشتباه نکن.
- واحد سرعت را از واحدهای مسئله استخراج کن.
- برای پیوند داخلی از slugهای واقعی relative-speed-motion-problems-math، slope-from-line-graph-konkur و distance-midpoint-coordinate-konkur استفاده کن.