ریاضی کنکوریهمه مقالههاتشخیص بازه مثبت و منفی تابع از نمودار؛ راهنمای خواندن علامت
با یک روش مرحله‌به‌مرحله یاد بگیرید نمودار تابع در کدام بازه‌ها بالای محور افقی، پایین آن یا دقیقاً روی محور قرار دارد.
پاسخ کوتاه
تشخیص بازه مثبت و منفی تابع از نمودار یعنی پیدا کنیم در چه قسمت‌هایی مقدار تابع از صفر بزرگ‌تر یا کوچک‌تر است. پاسخ مستقیم این است: هر جا نمودار بالای محور افقی باشد، تابع مثبت است و هر جا پایین محور افقی قرار بگیرد، تابع منفی است. نقاط برخورد نمودار با محور افقی نیز مقدار تابع را صفر می‌کنند و باید جداگانه بررسی شوند.
ایده اصلی: مقایسه نمودار با محور افقی
در نمودار تابع، محور افقی همان محور x است. اگر نقطه‌ای از نمودار مختصات (x,f(x)) داشته باشد، جای آن نسبت به محور افقی علامت f(x) را مشخص می‌کند. بالای محور یعنی f(x)>0، پایین محور یعنی f(x)<0 و روی محور یعنی f(x)=0. بنابراین برای پاسخ‌دادن لازم نیست ارتفاع دقیق نمودار را بخوانیم؛ فقط موقعیت آن نسبت به محور افقی اهمیت دارد.
تشخیص بازه مثبت و منفی تابع از نمودار
ابتدا همه نقاطی را که نمودار محور افقی را قطع یا لمس می‌کند پیدا کن. این نقاط مرزهای بازه‌ها هستند. سپس از چپ به راست هر قسمت را جداگانه بخوان: بخش بالای محور در پاسخ مثبت و بخش پایین محور در پاسخ منفی قرار می‌گیرد. اگر نمودار در نقطه‌ای تعریف نشده باشد، آن نقطه نیز از دامنه حذف می‌شود، حتی اگر دو طرف آن علامت یکسان داشته باشند.
تفاوت قطع‌کردن و لمس‌کردن محور
وقتی نمودار از یک سمت محور افقی به سمت دیگر عبور می‌کند، علامت تابع در آن ریشه تغییر می‌کند. مثلاً اگر نمودار پیش از x=2 بالای محور و پس از آن پایین محور باشد، علامت در x=2 عوض شده است. اما اگر نمودار فقط محور را لمس کند و دوباره در همان سمت ادامه دهد، علامت تغییر نمی‌کند. در هر دو حالت خود نقطه‌ای که روی محور است، نه مثبت است و نه منفی؛ مقدار تابع در آن صفر است.
مثال محاسباتی از روی نمودار فرضی
فرض کن نمودار تابع در x=-3، x=1 و x=4 محور افقی را قطع کند و از چپ به راست به‌ترتیب در بازه‌های (-∞,-3)، (-3,1)، (1,4) و (4,+∞) در وضعیت‌های بالای محور، پایین محور، بالای محور و پایین محور باشد. پس تابع در (-∞,-3) و (1,4) مثبت است و در (-3,1) و (4,+∞) منفی است. سه ریشه -3، 1 و 4 در هیچ‌کدام از بازه‌های مثبت یا منفی وارد نمی‌شوند؛ چون مقدار تابع در آن‌ها صفر است.
نقاط باز، بسته و بازه پاسخ
در نوشتن جواب، پرانتز و کروشه معنای مهمی دارند. ریشه‌های تابع برای نامساوی‌های f(x)>0 و f(x)<0 وارد جواب نمی‌شوند، چون در آن‌ها مقدار تابع صفر است. برای f(x)≥0 یا f(x)≤0، ریشه‌ها می‌توانند وارد شوند؛ البته فقط اگر تابع در آن نقاط تعریف شده باشد. نقطه باز روی نمودار یا یک حفره، نشان می‌دهد آن x در دامنه نیست و نباید با کروشه نوشته شود.
چک‌لیست حل سریع سؤال
۱) محور افقی را مشخص کن. ۲) تمام برخوردها و نقاط تعریف‌نشده را علامت بزن. ۳) محور را به بازه‌های جدا تقسیم کن. ۴) در هر بازه فقط بگو نمودار بالاست یا پایین. ۵) نوع نامساوی را بررسی کن: سخت یا غیرسخت. ۶) پاسخ را با پرانتز و اجتماع بازه‌ها بنویس. اگر نمودار در یک ریشه مماس شده است، انتظار تغییر علامت نداشته باش؛ تغییر علامت را از جای نمودار در دو طرف ریشه تشخیص بده، نه از خود ریشه.
جمع‌بندی؛ علامت تابع را از جای نمودار بخوان
برای تحلیل علامت، مقدار عددی تابع لازم نیست. جای نمودار نسبت به محور افقی کافی است: بالا مثبت، پایین منفی و روی محور صفر. ریشه‌ها و نقاط خارج از دامنه مرزهای پاسخ‌اند. با تقسیم محور به بازه‌های مناسب و کنترل نوع نامساوی، می‌توان پاسخ را دقیق و بدون حدس‌زدن نوشت. در پایان، بهتر است یک عدد آزمایشی از هر بازه انتخاب کنی و فقط موقعیت نمودار یا علامت به‌دست‌آمده را کنترل کنی.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: نمودار تابع فقط در بازه‌های (-5,-2) و (3,7) بالای محور افقی است و در بقیه قسمت‌های دامنه پایین محور قرار دارد. ریشه‌ها -2، 3 و 7 هستند. مجموعه جواب f(x)>0 چیست؟
پاسخ کامل: چون نامساوی سخت است، نقاطی که تابع در آن‌ها صفر می‌شود وارد جواب نمی‌شوند. نمودار در دو قسمت بالای محور قرار دارد، پس پاسخ برابر (-5,-2)∪(3,7) است. اگر در x=-5 یا x=7 نقطه بسته‌ای وجود داشته باشد، باید نوع سرحد را از خود نمودار بررسی کرد؛ با اطلاعات داده‌شده، بازه‌ها به‌صورت باز نوشته می‌شوند.
تمرین ۲: نمودار تابع در x=-1 محور افقی را لمس می‌کند و در دو طرف آن بالای محور باقی می‌ماند. در x=2 از بالای محور به پایین محور عبور می‌کند. پاسخ f(x)≤0 را بنویسید، با فرض اینکه تابع در همه اعداد حقیقی تعریف شده است.
پاسخ کامل: در x=-1 مقدار تابع صفر است و چون نامساوی غیرسخت است، این نقطه می‌تواند در جواب باشد. پس از x=2 نمودار پایین محور است و آن نقطه نیز به دلیل صفرشدن تابع قابل قبول است. بنابراین پاسخ شامل {-1} و بازه [2,+∞) است: {-1}∪[2,+∞). لمس محور در x=-1 علامت را عوض نکرده و بخش‌های نزدیک به آن همچنان مثبت‌اند.
تمرین ۳: در یک بازه، نمودار برای x<0 پایین محور، در x=0 روی محور و برای x>0 بالای محور است. پاسخ f(x)≠0 در همان دامنه چیست؟
پاسخ کامل: تنها جایی که تابع صفر است x=0 است. شرط نابرابری با صفر می‌گوید همین نقطه حذف شود؛ بخش‌های چپ و راست باقی می‌مانند. پاسخ (-∞,0)∪(0,+∞) است. توجه کن که برای این سؤال، مثبت یا منفی بودن تابع مهم نیست؛ فقط صفر نبودن آن اهمیت دارد.
چک‌لیست حل تست
- محور افقی را با محور عمودی اشتباه نکن؛ علامت تابع از ارتفاع نمودار نسبت به محور x خوانده می‌شود.
- ریشه‌ها را برای نامساوی سخت وارد پاسخ نکن.
- در نقطه‌ای که نمودار محور را لمس می‌کند، از روی دو طرف نمودار درباره تغییر علامت تصمیم بگیر.
- نقاط باز و حفره‌ها معمولاً عضو دامنه نیستند و با کروشه نوشته نمی‌شوند.