توان نقطه نسبت به دایره؛ وتر، قاطع و مماس
آموزش روابط توان نقطه برای وترهای متقاطع، دو قاطع و مماس–قاطع همراه تستهای هندسه دایره.
پاسخ کوتاه
توان نقطه چند رابطه ظاهراً متفاوت دایره را در یک اصل جمع میکند. کافی است جای نقطه را داخل، روی یا بیرون دایره تشخیص دهیم و طولهای مربوط به هر خط را با ترتیب درست وارد حاصلضرب کنیم.
دو وتر متقاطع
اگر دو وتر AB و CD در نقطه P داخل دایره همدیگر را قطع کنند، PA×PB=PC×PD است. در هر حاصلضرب دو قطعه متعلق به یک وتر قرار میگیرند. شکل ممکن است متقارن نباشد و ترتیب نامگذاری طولها روی مقدار ضرب اثری ندارد.
دو قاطع بیرونی
اگر از نقطه بیرونی P دو قاطع رسم شوند، حاصلضرب قسمت بیرونی هر قاطع در طول کامل همان قاطع برابر است. اگر ترتیب نقاط P-A-B باشد، برای آن قاطع باید PA×PB را نوشت، نه حاصلضرب قسمت بیرونی در قسمت داخلی.
مماس و قاطع
اگر PT مماس و P-A-B قاطع باشد، PT²=PA×PB. طول مماس نقش میانگین هندسیِ قسمت بیرونی و طول کامل قاطع را دارد. دو مماس رسمشده از یک نقطه بیرونی نیز طولهای برابر دارند.
تشخیص طول کامل
در شکلهای قاطع، طول کامل از نقطه بیرونی تا دورترین محل برخورد است. اگر قسمت بیرونی x و قسمت داخل دایره y باشد، طول کامل x+y خواهد بود. نوشتن x×y به جای x(x+y) یکی از خطاهای پرتکرار است.
مثال و تست کوتاه
از نقطه P یک مماس به طول 6 و قاطعی با قسمت بیرونی 4 رسم شده است. اگر طول کامل قاطع L باشد، رابطه 6²=4L میدهد L=9. بنابراین قسمت داخل دایره 9-4=5 است.
چکلیست حل تست
- در قاطع بیرونی، بیرونی را در طول کامل ضرب کن.
- مربع طول مماس برابر توان نقطه است.
- هر حاصلضرب را از طولهای یک خط بساز.