حل احتمال با جدول حالت ها؛ شمارش منظم رویدادهای دو مرحله‌ای

پاسخ کوتاه

برای حل احتمال با جدول حالت ها، ابتدا همه نتیجه‌های ممکن را در سطر و ستون مرتب کنید، سپس حالت‌های مطلوب را علامت بزنید و نسبت تعداد آن‌ها به کل حالت‌ها را به دست آورید. این روش وقتی هر مرحله چند نتیجه دارد، از جاافتادن یا دوباره‌شماری جلوگیری می‌کند.

ایده اصلی جدول حالت‌ها

در مسئله‌های دو مرحله‌ای، نتیجه نهایی از کنار هم قرارگرفتن نتیجه مرحله اول و مرحله دوم ساخته می‌شود. اگر مرحله اول سه حالت و مرحله دوم چهار حالت داشته باشد و همه حالت‌ها مجاز باشند، فضای نمونه ۳×۴=۱۲ حالت دارد. جدول کمک می‌کند این زوج‌ها را یکی‌یکی ببینیم. سطرها را به نتیجه‌های مرحله اول و ستون‌ها را به نتیجه‌های مرحله دوم اختصاص دهید؛ هر خانه یک نتیجه مرکب است.

حل احتمال با جدول حالت ها

فرض کنید یک تاس و یک سکه را هم‌زمان آزمایش می‌کنیم. سطرهای جدول می‌توانند عددهای ۱ تا ۶ تاس و ستون‌ها شیر و خط سکه باشند؛ بنابراین ۱۲ خانه داریم. اگر رویداد مطلوب «عدد تاس زوج و سکه شیر باشد»، خانه‌های مربوط به عددهای ۲، ۴ و ۶ در ستون شیر مطلوب‌اند. پس سه حالت مطلوب از دوازده حالت داریم و احتمال برابر است با ۳/۱۲=۱/۴. نکته مهم این است که هر خانه یک نتیجه کامل است، نه فقط نتیجه یکی از ابزارها.

چه زمانی جدول مناسب است؟

جدول برای آزمایش‌های دارای دو مرحله یا دو ویژگی مستقل از هم بسیار مناسب است؛ مانند انتخاب رنگ و اندازه، پرتاب سکه و تاس، یا انتخاب یک گزینه از هر دو فهرست. اگر مرحله دوم به نتیجه مرحله اول وابسته باشد، باز هم جدول ممکن است مفید باشد، اما باید خانه‌های ناممکن را حذف کنید. برای نمونه، اگر دو مهره بدون جایگذاری از یک کیسه برداریم، انتخاب دوم به انتخاب اول وابسته است و تعداد گزینه‌های مرحله دوم در سطرهای مختلف یکسان نیست.

مثال وابسته و حذف حالت‌های ناممکن

کیسه‌ای شامل سه مهره قرمز، آبی و سبز را در نظر بگیرید و دو مهره را پشت سر هم بدون جایگذاری بردارید. اگر فقط رنگ‌ها مهم باشند، حالت‌های مرتب ممکن عبارت‌اند از قرمز-آبی، قرمز-سبز، آبی-قرمز، آبی-سبز، سبز-قرمز و سبز-آبی؛ حالت‌هایی مانند قرمز-قرمز در این مدل وجود ندارند. از میان شش حالت، چهار حالت شامل دست‌کم یک مهره قرمز هستند. بنابراین احتمال رویداد مطلوب ۴/۶=۲/۳ است. ترتیب در این مسئله مهم است، چون قرمز-آبی و آبی-قرمز دو مسیر متفاوت‌اند.

چک‌لیست شمارش و کنترل پاسخ

۱) مشخص کنید هر خانه دقیقاً چه نتیجه‌ای را نشان می‌دهد. ۲) بررسی کنید آیا ترتیب مراحل مهم است یا نه. ۳) حالت‌های ناممکن را از جدول حذف کنید. ۴) خانه‌های مطلوب را با یک نشانه جدا کنید. ۵) تعداد خانه‌های مطلوب را بر تعداد کل خانه‌های مجاز تقسیم کنید. ۶) پاسخ را بین صفر و یک کنترل کنید. اگر احتمال از یک بزرگ‌تر یا منفی شد، در تعریف حالت‌ها یا شمارش خطا کرده‌اید. همچنین اگر دو رویداد هم‌زمان خواسته شده‌اند، فقط خانه‌هایی را انتخاب کنید که هر دو شرط را داشته باشند.

تفاوت جدول با درخت احتمال

جدول زمانی خواناتر است که دو مرحله تعداد نتیجه‌های مشخص و محدود داشته باشند. درخت احتمال برای مسیرهای چندمرحله‌ای یا احتمال‌های شرطی معمولاً انعطاف بیشتری دارد، چون احتمال هر شاخه را جدا نشان می‌دهد. با این حال، در آزمایش‌های هم‌احتمال، جدول اغلب سریع‌تر است. اگر احتمال شاخه‌ها برابر نباشد، صرفاً شمردن خانه‌ها کافی نیست و باید احتمال هر مسیر را محاسبه و سپس مسیرهای مطلوب را جمع کنید.

جمع‌بندی؛ از خانه‌ها تا احتمال نهایی

جدول حالت‌ها فضای نمونه را منظم می‌کند: هر سطر و ستون یک انتخاب را نشان می‌دهد و هر خانه یک نتیجه کامل است. پس از ساخت جدول، حالت‌های ناممکن را حذف و حالت‌های مطلوب را جدا کنید. در حالت‌های هم‌احتمال، احتمال از نسبت مطلوب به کل به دست می‌آید؛ در حالت‌های نابرابر، وزن یا احتمال هر مسیر نیز باید در نظر گرفته شود. کنترل ترتیب، وابستگی و شرط رویداد سه گام اصلی برای رسیدن به پاسخ درست‌اند.

تمرین خودسنجی با پاسخ