قضیه بطلمیوس؛ قطرهای چهارضلعی محاطی و حل طول
آموزش تشخیص چهارضلعی محاطی و استفاده از قضیه بطلمیوس برای ارتباط قطرها و ضلعها در تست هندسه.
پاسخ کوتاه
قضیه بطلمیوس برای چهارضلعی محاطی، حاصلضرب قطرها را به مجموع حاصلضرب ضلعهای مقابل مرتبط میکند. این رابطه اغلب طول مجهولی را که با تشابههای متعدد به دست میآید، در یک معادله مستقیم محاسبه میکند؛ اما شرط محاطیبودن ضروری است.
بیان قضیه
اگر ABCD به همین ترتیب روی یک دایره باشند، AC×BD=AB×CD+BC×AD. در سمت چپ دو قطر و در سمت راست مجموع حاصلضرب دو جفت ضلع مقابل قرار میگیرد؛ حفظ ترتیب رأسها مانع جابهجایی قطر و ضلع میشود.
تشخیص محاطیبودن
چهارضلعی زمانی محاطی است که مجموع دو زاویه مقابل 180 درجه باشد. برابری زاویههایی که یک وتر مشترک میبینند یا قرارداشتن هر چهار رأس روی دایره نیز شرط را ثابت میکند؛ بدون چنین اطلاعاتی بطلمیوس قابل استفاده نیست.
حالت مستطیل
هر مستطیل محاطی است و قطرهای برابر دارد. بطلمیوس برای مستطیل با ضلعهای a و b میدهد d²=a²+b² و به فیثاغورس میرسد؛ این حالت ساده راه خوبی برای بهخاطر سپردن علامت جمع در فرمول است.
حل طول مجهول
همه طولهای معلوم را در رابطه قرار بده و تنها پس از آن معادله را ساده کن. اگر یکی از قطرها یا ضلعها مجهول باشد، رابطه معمولاً خطی است؛ پاسخ طول باید مثبت و با نامساویهای هندسی شکل سازگار باشد.
مثال حلشده
در چهارضلعی محاطی با ضلعهای پیاپی 2، 3، 4 و 5 و قطر AC=4، از 4×BD=2×4+3×5=23 نتیجه BD=23/4 میشود. جفتهای ضلع مقابل AB با CD و BC با AD هستند.
عکس بطلمیوس
اگر در یک چهارضلعی محدب رابطه بطلمیوس با طولهای آن برقرار باشد، چهارضلعی محاطی است. در تستهای اثباتی میتوان پس از محاسبه دو طرف، از این عکس برای نتیجهگیری همدایرهبودن چهار رأس استفاده کرد.
چکلیست حل تست
- قبل از بطلمیوس محاطیبودن را ثابت کن.
- حاصلضرب قطرها برابر مجموع دو حاصلضرب است.
- رأسها را به ترتیب دور چهارضلعی نامگذاری کن.