ریاضی کنکوریهمه مقالههاتشخیص ربع زاویه با علامت نسبت‌های مثلثاتی؛ راهنمای سریع تستی
با استفاده از علامت سینوس، کسینوس و تانژانت، ربع زاویه را بدون رسم دقیق دایره مثلثاتی پیدا کنید و پاسخ را کنترل کنید.
پاسخ کوتاه
تشخیص ربع زاویه با علامت نسبت‌های مثلثاتی بر پایه یک جدول ساده انجام می‌شود: سینوس در نیمه بالایی مثبت است، کسینوس در سمت راست مثبت می‌ماند و تانژانت در ربع‌های اول و سوم مثبت است. اگر علامت دو نسبت را بدانید، حداکثر یک ربع ممکن می‌ماند.
پاسخ مستقیم: تشخیص ربع زاویه با علامت نسبت‌های مثلثاتی
برای زاویه‌ای در ربع اول، سینوس، کسینوس و تانژانت همگی مثبت‌اند. در ربع دوم سینوس مثبت، کسینوس منفی و تانژانت منفی است. در ربع سوم سینوس و کسینوس منفی و تانژانت مثبت‌اند. در ربع چهارم سینوس منفی، کسینوس مثبت و تانژانت منفی است. بنابراین باید ابتدا نسبت داده‌شده را شناسایی و سپس علامت آن را با جدول چهار ربع مقایسه کنید.
جدول علامت چهار ربع
ترتیب علامت‌ها به شکل زیر است: ربع اول: +، +، +؛ ربع دوم: +، −، −؛ ربع سوم: −، −، +؛ ربع چهارم: −، +، −. در این ترتیب، علامت‌ها به‌ترتیب سینوس، کسینوس و تانژانت نوشته شده‌اند. این جدول را می‌توان از مختصات دایره واحد نیز فهمید: سینوس همان مؤلفه عمودی و کسینوس مؤلفه افقی است؛ تانژانت نیز از تقسیم سینوس بر کسینوس به دست می‌آید.
وقتی فقط یک نسبت داده شده است
اگر فقط مثبت بودن سینوس را بدانیم، زاویه می‌تواند در ربع اول یا دوم باشد؛ چون هر دو ربع بالای محور افقی‌اند. مثبت بودن کسینوس، ربع اول یا چهارم را ممکن می‌کند. مثبت بودن تانژانت نیز به ربع اول یا سوم اشاره دارد. پس یک علامت همیشه پاسخ یکتا نمی‌دهد و نباید بدون داده دوم، ربع را قطعی اعلام کرد.
مثال محاسباتی
فرض کنید sin θ>0 و cos θ<0 باشد. سینوس مثبت یعنی زاویه در ربع اول یا دوم است. کسینوس منفی یعنی زاویه در ربع دوم یا سوم قرار دارد. اشتراک این دو مجموعه فقط ربع دوم است؛ بنابراین θ در ربع دوم قرار دارد و tan θ نیز باید منفی باشد. حال اگر sin θ<0 و tan θ>0 باشد، سینوس ربع سوم یا چهارم را نشان می‌دهد و تانژانت مثبت ربع اول یا سوم را؛ اشتراک، ربع سوم است.
نکته مهم درباره مرز ربع‌ها
اگر زاویه روی یکی از محورهای مختصات باشد، درون هیچ ربعی قرار ندارد. در این حالت ممکن است سینوس یا کسینوس صفر شود و تانژانت نیز در بعضی محور‌ها تعریف‌نشده باشد. بنابراین عبارت «زاویه در یک ربع است» معمولاً یعنی هیچ‌یک از نسبت‌های مربوط به مرز، صفر یا تعریف‌نشده نیستند.
چک‌لیست حل تست
۱) نسبت مثلثاتی داده‌شده را مشخص کن. ۲) علامت آن را دقیق بخوان؛ مثبت و منفی را جابه‌جا نکن. ۳) ربع‌های سازگار با نسبت اول را بنویس. ۴) هر نسبت اضافی را به‌صورت یک مجموعه ربع دیگر بررسی کن. ۵) اشتراک مجموعه‌ها را پیدا کن. ۶) در پایان با رابطه tan θ=sin θ/cos θ علامت سوم را کنترل کن. اگر پاسخ با این رابطه سازگار نبود، احتمالاً یکی از علامت‌ها یا ربع‌ها اشتباه خوانده شده است.
جمع‌بندی؛ ربع را از اشتراک علامت‌ها پیدا کن
سینوس از موقعیت عمودی، کسینوس از موقعیت افقی و تانژانت از نسبت این دو مختصه خبر می‌دهد. یک علامت ممکن است دو ربع را باقی بگذارد، اما ترکیب دو علامت معمولاً ربع را یکتا می‌کند. بهترین روش این است که به‌جای حفظ پراکنده، جدول چهار ربع را بنویسید و پاسخ را با رابطه تانژانت کنترل کنید.
تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل
تمرین ۱: اگر sin θ<0 و cos θ>0 باشد، زاویه در کدام ربع است؟ پاسخ: سینوس منفی، ربع سوم یا چهارم را ممکن می‌کند. کسینوس مثبت، ربع اول یا چهارم را ممکن می‌کند. اشتراک این دو حالت ربع چهارم است؛ در نتیجه tan θ نیز منفی خواهد بود. تمرین ۲: اگر tan θ>0 و cos θ<0 باشد، ربع زاویه را تعیین کنید. پاسخ: تانژانت مثبت در ربع اول یا سوم است. کسینوس منفی در ربع دوم یا سوم است. تنها ربع مشترک، ربع سوم است؛ بنابراین سینوس و کسینوس هر دو منفی‌اند. تمرین ۳: آیا از sin θ>0 به‌تنهایی می‌توان ربع را دقیق تعیین کرد؟ پاسخ: خیر. سینوس در ربع اول و دوم مثبت است، پس بدون دانستن علامت نسبت دیگری، دو احتمال باقی می‌ماند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
اگر sin θ>0 و tan θ<0 باشد، زاویه در کدام ربع است؟
سینوس مثبت ربع اول یا دوم را نشان می‌دهد و تانژانت منفی ربع دوم یا چهارم را. اشتراک این دو حالت ربع دوم است.
اگر cos θ<0 و tan θ>0 باشد، علامت سینوس چیست؟
کسینوس منفی در ربع دوم یا سوم است؛ تانژانت مثبت در ربع اول یا سوم. پس زاویه در ربع سوم قرار دارد و سینوس آن منفی است.
چک‌لیست حل تست
- علامت‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به‌ترتیب جداگانه بنویسید.
- از یک علامت به‌تنهایی نتیجه قطعی نگیرید.
- پاسخ نهایی را با رابطه تانژانت و مختصات ربع کنترل کنید.
- زاویه‌های روی محور را با ربع‌های چهارگانه اشتباه نکنید.