تعیین برد تابع درجه دوم با تکمیل مربع؛ یافتن کمینه و بیشینه سهمی

پاسخ کوتاه

برای تعیین برد تابع درجه دوم با تکمیل مربع، تابع را به شکل a(x−h)²+k بنویسید. چون (x−h)² همیشه نامنفی است، اگر a مثبت باشد کمترین مقدار تابع k و اگر a منفی باشد بیشترین مقدار آن k خواهد بود؛ بنابراین برد به‌سادگی از مقدار رأس و جهت بازشدن سهمی به دست می‌آید.

ایده اصلی و فرم رأسی

تابع درجه دوم را معمولاً به صورت f(x)=ax²+bx+c می‌بینیم، اما برای پیدا کردن برد، فرم رأسی آن مفیدتر است: f(x)=a(x−h)²+k. نقطه (h,k) رأس سهمی است. عبارت مربع‌شده هرگز منفی نیست؛ پس اگر a>0 باشد، جمله a(x−h)² حداقل صفر و f(x) حداقل k است. در این حالت برد [k,+∞) خواهد بود. اگر a<0 باشد، جمله a(x−h)² حداکثر صفر است و f(x) حداکثر k می‌شود؛ بنابراین برد (−∞,k] است.

تعیین برد تابع درجه دوم با تکمیل مربع

برای تابع f(x)=x²−6x+11، دو جمله اول را کامل مربع می‌کنیم: x²−6x+11=(x²−6x+9)+2=(x−3)²+2. چون ضریب مربع مثبت است، کمترین مقدار تابع ۲ است و در x=3 رخ می‌دهد. پس برد تابع [۲,+∞) است. لازم نیست برای این نتیجه چند نقطه از نمودار را حساب کنیم؛ نامنفی بودن مربع، استدلال کامل را فراهم می‌کند.

وقتی ضریب جمله درجه دوم منفی است

در تابع g(x)=−2x²+8x−5 ابتدا ضریب −۲ را از دو جمله درجه‌دار بیرون می‌کشیم: g(x)=−2(x²−4x)−5. داخل پرانتز را کامل مربع می‌کنیم: x²−4x=(x−2)²−4. بنابراین g(x)=−2[(x−2)²−4]−5=−2(x−2)²+8−5=−2(x−2)²+3. چون ضریب مربع منفی است، بزرگ‌ترین مقدار تابع ۳ است و برد (−∞,۳] خواهد بود.

فرمول سریع رأس و کنترل تکمیل مربع

اگر f(x)=ax²+bx+c باشد، مختصات افقی رأس از h=−b/(2a) به دست می‌آید و k=f(h) است. این روش برای کنترل پاسخ تکمیل مربع مناسب است. در مثال f(x)=2x²−12x+7 داریم h=12/4=3 و f(3)=18−36+7=−11. پس رأس (۳،−۱۱) و چون a مثبت است، برد [−۱۱,+∞) است. اگر فرم رأسی شما همین رأس را ندهد، در جابه‌جایی علامت‌ها خطا رخ داده است.

برد در دامنه‌های محدود

اگر دامنه تابع کل اعداد حقیقی نباشد، فقط جهت سهمی کافی نیست و باید مقدار تابع را روی بازه مجاز بررسی کنیم. مثلاً برای f(x)=(x−2)²+1 در دامنه ۰≤x≤۳، رأس x=2 داخل دامنه است؛ کمینه ۱ است و بیشینه در یکی از دو سر بازه رخ می‌دهد. f(0)=5 و f(3)=2، پس برد [۱,۵] است. بنابراین ابتدا دامنه را بخوانید، سپس رأس و کران‌های دامنه را مقایسه کنید.

چک‌لیست حل سؤال

۱) ضریب a را مشخص کنید. ۲) اگر دامنه آزاد است، تابع را به فرم رأسی ببرید یا h و k را حساب کنید. ۳) برای a مثبت، کران پایین و برای a منفی، کران بالا را بنویسید. ۴) در دامنه محدود، رأس و نقاط انتهایی را بررسی کنید. ۵) کروشه یا پرانتز را درست انتخاب کنید؛ مقدار رأس و مقدار نقاط انتهایی در دامنه بسته، عضو برد هستند.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

در تابع درجه دوم، مربع کامل ابزار فهم برد است، نه فقط یک ترفند جبری. فرم a(x−h)²+k نشان می‌دهد رأس کجاست و سهمی به کدام سمت باز می‌شود. برای دامنه حقیقی، علامت a نوع کران را تعیین می‌کند؛ برای دامنه محدود، باید مقدار تابع در رأس و مرزهای مجاز مقایسه شود. با این روش، پاسخ هم کوتاه‌تر و هم قابل کنترل‌تر از جدول‌سازی طولانی است.

پاسخ تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: f(x)=x²+4x+7. داریم x²+4x+7=(x+2)²+3. چون ضریب مربع مثبت است، کمینه ۳ و برد [۳,+∞) است. تمرین ۲: g(x)=−x²+6x−10. با کامل کردن مربع، g(x)=−(x−3)²−1. ضریب منفی است، پس بیشینه −۱ و برد (−∞,−۱] است. تمرین ۳: h(x)=(x−1)²+2 در دامنه ۱≤x≤۴. کمینه در رأس برابر ۲ است؛ h(4)=11، بنابراین برد [۲,۱۱] خواهد بود.

تمرین خودسنجی با پاسخ