تشخیص علامت ضریب درجه دوم از روی نمودار سهمی؛ راهنمای سریع

پاسخ کوتاه

برای تشخیص علامت ضریب درجه دوم از روی نمودار سهمی، ابتدا به جهت بازشدن آن نگاه کنید: اگر دهانه سهمی رو به بالا باشد، ضریب جمله درجه دوم مثبت است و اگر دهانه رو به پایین باشد، این ضریب منفی است. این نتیجه از شکل کلی تابع f(x)=ax²+bx+c به دست می‌آید؛ علامت a جهت خمیدگی را تعیین می‌کند، نه محل رأس یا عرض از مبدأ.

قاعده اصلی از روی جهت بازشدن

در تابع درجه دوم f(x)=ax²+bx+c، اگر a>0 باشد، سهمی رو به بالا باز می‌شود و اگر a<0 باشد، سهمی رو به پایین باز می‌شود. بنابراین لازم نیست برای پاسخ‌دادن حتماً مختصات چند نقطه را در ضابطه جای‌گذاری کنید. فقط جهت دهانه را بررسی کنید. مقدار a هرچه بزرگ‌تر یا کوچک‌تر باشد، روی پهنا یا باریکی سهمی هم اثر می‌گذارد، اما برای تشخیص علامت، خود جهت بازشدن کافی است.

تفاوت ضریب درجه دوم با سایر ویژگی‌ها

عرض از مبدأ یعنی مقدار c، نقطه برخورد نمودار با محور y را مشخص می‌کند و به‌تنهایی درباره علامت a چیزی نمی‌گوید. ضریب b نیز روی محل محور تقارن و جایگاه افقی رأس اثر دارد. ممکن است دو سهمی عرض از مبدأ یکسان داشته باشند اما یکی رو به بالا و دیگری رو به پایین باز شود. پس در سؤال تصویری، اول دهانه را ببین و بعد سراغ رأس، محور تقارن یا تقاطع‌ها برو.

تشخیص علامت ضریب درجه دوم از روی نمودار سهمی

فرض کنید نمودار یک سهمی کمینه دارد؛ یعنی از سمت چپ پایین می‌آید، در رأس به پایین‌ترین نقطه می‌رسد و سپس بالا می‌رود. چنین نموداری رو به بالا باز شده است، پس در ضابطه آن a مثبت است. اگر نمودار بیشینه داشته باشد و از سمت چپ بالا بیاید، در رأس به بالاترین نقطه برسد و بعد پایین برود، سهمی رو به پایین است و a منفی خواهد بود. اگر نمودار فقط بخشی از سهمی را نشان دهد، جهت حرکت دو شاخه را با دقت دنبال کنید.

مثال محاسباتی و کنترل پاسخ

دو تابع را در نظر بگیرید: f(x)=2x²-8x+3 و g(x)=-x²+4x+1. در تابع اول، ضریب x² برابر 2 است؛ چون مثبت است، سهمی رو به بالا باز می‌شود و رأس آن کمینه دارد. در تابع دوم، ضریب x² برابر -1 است؛ پس سهمی رو به پایین باز می‌شود و رأس آن بیشینه دارد. برای کنترل، می‌توانیم از مشتق هم کمک بگیریم: f'(x)=4x و شیب پس از رأس دوباره مثبت می‌شود، اما g'(x)=-2x و رفتار کلی آن به سمت پایین است.

وقتی نمودار ناقص یا جابه‌جا شده است

انتقال افقی و عمودی شکل سهمی، علامت a را عوض نمی‌کند. برای نمونه، در f(x)=3(x-2)²-5، سهمی دو واحد به راست و پنج واحد به پایین منتقل شده، اما چون ضریب عبارت مربع‌شده 3 مثبت است، همچنان رو به بالا باز می‌شود. همچنین اگر نمودار از محورهای مختصات عبور نکند، باز هم می‌توان علامت a را از جهت دهانه تشخیص داد. محل تقاطع با محور x برای این تشخیص ضروری نیست.

چک‌لیست حل سؤال تصویری

۱) مطمئن شو نمودار واقعاً سهمی و مربوط به تابع درجه دوم است. ۲) دهانه را بررسی کن: بالا یعنی a مثبت، پایین یعنی a منفی. ۳) رأس را با بیشینه یا کمینه بودن کنترل کن. ۴) عرض از مبدأ را با علامت ضریب درجه دوم قاطی نکن. ۵) اگر سؤال مقدار ضریب را خواست، از یک نقطه معلوم و ضابطه کامل استفاده کن؛ شکل به‌تنهایی معمولاً فقط علامت و گاهی نسبت کیفی پهنا را نشان می‌دهد.

جمع‌بندی تشخیص علامت در سهمی

در تابع درجه دوم، جهت بازشدن نمودار سریع‌ترین نشانه برای علامت ضریب جمله درجه دوم است. سهمی رو به بالا یعنی ضریب مثبت و سهمی رو به پایین یعنی ضریب منفی. رأس کمینه یا بیشینه، انتقال‌های افقی و عمودی، و محل برخورد با محورها اطلاعات تکمیلی‌اند و نباید جای قاعده اصلی را بگیرند. با همین ترتیب، بسیاری از سؤال‌های نموداری بدون محاسبه اضافی حل می‌شوند.

تمرین خودسنجی با پاسخ