محور رادیکال دو دایره؛ معادله و نقطههای همتوان
آموزش یافتن محور رادیکال با تفریق معادله دایرهها، تفسیر توان نقطه و کاربرد در تست هندسه تحلیلی.
پاسخ کوتاه
محور رادیکال مکان هندسی نقطههایی است که نسبت به دو دایره توان برابر دارند. با کمکردن معادلههای دو دایره، جملههای درجه دوم حذف میشوند و یک خط به دست میآید؛ این روش بدون یافتن مرکز یا شعاع نیز قابل استفاده است.
توان نقطه و تعریف محور
توان نقطه P نسبت به دایره با مرکز O و شعاع r برابر PO²-r² است. مجموعه نقطههایی که توانشان نسبت به دو دایره برابر باشد محور رادیکال نام دارد و برای دو دایره غیرهممرکز یک خط است.
تفریق معادلهها
اگر دو دایره به صورت x²+y²+D_ix+E_iy+F_i=0 نوشته شوند، با تفریق دو معادله جملههای x² و y² حذف میشوند. معادله خط حاصل دقیقاً شرط برابری توانها و در نتیجه معادله محور رادیکال است.
رابطه با خط مراکز
محور رادیکال بر خط واصل مرکزهای دو دایره عمود است. این ویژگی راهی برای کنترل شیب خط بهدستآمده است؛ اگر مرکزها همافقی باشند، محور باید قائم باشد و برعکس.
دایرههای متقاطع و مماس
اگر دو دایره در دو نقطه قطع شوند، محور رادیکال همان خط واصل نقاط تقاطع است. در حالت مماس، این محور مماس مشترک در نقطه تماس میشود؛ حتی برای دایرههای جدا از هم نیز خط همتوان وجود دارد.
مثال حلشده
برای دایرههای x²+y²-4x=0 و x²+y²+2x-6=0، تفریق میدهد -6x+6=0 و بنابراین x=1 محور رادیکال است. مرکزها روی محور x قرار دارند، پس قائمبودن خط پاسخ را تأیید میکند.
سه دایره
محورهای رادیکال سه دایره، اگر موازی نباشند، در یک نقطه به نام مرکز رادیکال همرساند. توان این نقطه نسبت به هر سه دایره برابر است و میتوان آن را از تقاطع دو محور به دست آورد.
چکلیست حل تست
- برای یافتن محور، معادله دو دایره را از هم کم کن.
- محور رادیکال بر خط مراکز عمود است.
- نقاط تقاطع دو دایره روی محور رادیکالاند.