تشخیص دامنه تابع رادیکالی از روی ضابطه؛ شرط تعریف و حل نامعادله

پاسخ کوتاه

برای تشخیص دامنه تابع رادیکالی از روی ضابطه، ابتدا باید هر رادیکالِ زوج را بررسی کنیم و عبارت زیر رادیکال را نامنفی بگذاریم؛ اگر رادیکال در مخرج باشد، این عبارت باید مثبت باشد. سپس شرط‌های به‌دست‌آمده را با هم ترکیب می‌کنیم و نقاط ممنوع را حذف می‌کنیم.

چرا دامنه را پیش از محاسبه پیدا می‌کنیم؟

دامنه مجموعه مقدارهای x است که تابع برای آن‌ها مقدار حقیقی و تعریف‌شده دارد. در رادیکال زوج، عبارت زیر رادیکال نمی‌تواند منفی باشد؛ زیرا ریشه دوم عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است. همچنین هیچ مخرجی نباید صفر شود. بنابراین پاسخ فقط از حل یک نامعادله به دست نمی‌آید و باید همه محدودیت‌های ضابطه را هم‌زمان بررسی کرد.

تشخیص دامنه تابع رادیکالی از روی ضابطه

اگر f(x)=√(g(x)) باشد، شرط اصلی g(x)≥0 است. برای نمونه، در f(x)=√(2x-6)، نامعادله 2x-6≥0 را حل می‌کنیم و به x≥3 می‌رسیم؛ پس دامنه [3,+∞) است. اگر عبارت زیر رادیکال چندجمله‌ای باشد، ابتدا آن را تجزیه کن و سپس با ریشه‌ها جدول علامت بساز.

وقتی رادیکال در مخرج قرار دارد

در تابع f(x)=1/√(g(x))، دو شرط هم‌زمان داریم: g(x)≥0 برای تعریف رادیکال و g(x)≠0 برای صفرنشدن مخرج. این دو شرط در کنار هم یعنی g(x)>0. مثلاً برای f(x)=1/√(x-2)، باید x-2>0 باشد؛ بنابراین دامنه (2,+∞) است و خود عدد 2 وارد جواب نمی‌شود.

چند شرط را چگونه ترکیب کنیم؟

اگر ضابطه چند رادیکال یا چند مخرج داشته باشد، دامنه برابر اشتراک همه شرط‌هاست. برای f(x)=√(x+1)/(x-3)، شرط رادیکال x+1≥0 و شرط مخرج x-3≠0 است. از شرط اول x≥-1 به دست می‌آید، اما 3 باید حذف شود؛ پس دامنه [-1,3)∪(3,+∞) خواهد بود. حذف نقطه ممنوع را در پایان فراموش نکن.

مثال محاسباتی با جدول علامت

دامنه تابع f(x)=√((x-1)(x+2)) را می‌خواهیم. ریشه‌های عبارت زیر رادیکال -2 و 1 هستند. روی محور، علامت حاصل‌ضرب در بازه‌های (-∞,-2)، (-2,1) و (1,+∞) به‌ترتیب مثبت، منفی و مثبت است. چون شرط نامنفی‌بودن داریم، دو بازه بیرونی و خود ریشه‌ها پذیرفته می‌شوند؛ پاسخ (-∞,-2]∪[1,+∞) است.

خطاهای رایج و چک‌لیست

در رادیکال زوج، نامنفی‌بودن را با مثبت‌بودن اشتباه نکن؛ خود صفر مجاز است، مگر اینکه رادیکال در مخرج باشد. علامت پرانتزها را هنگام حل نامعادله کنترل کن. اگر عامل مشترکی را ساده می‌کنی، نقطه‌ای را که در ضابطه اصلی مخرج را صفر می‌کند همچنان ممنوع نگه دار. در پایان، یک عدد از هر بازه انتخاب و تعریف‌پذیری تابع را آزمایش کن.

جمع‌بندی دامنه تابع‌های رادیکالی

برای دامنه، ابتدا زیررادیکال‌های زوج را بررسی کن، سپس مخرج‌ها را از صفر جدا کن و در نهایت اشتراک شرط‌ها را بنویس. مثال سریع: در f(x)=√(x-4)/(x+1)، شرط x≥4 و شرط x≠-1 داریم؛ چون -1 خارج از x≥4 است، دامنه [4,+∞) می‌شود. اگر رادیکال در مخرج بود، مرز صفر آن نیز حذف می‌شد. پاسخ نهایی را همیشه با نماد بازه و کروشه‌های درست ارائه کن.

تمرین خودسنجی با پاسخ