خواندن مقدار تابع از روی نمودار؛ پیدا کردن f(x) بدون محاسبه اضافی

پاسخ کوتاه

برای خواندن مقدار تابع از روی نمودار، ابتدا روی محور افقی مقدار x داده‌شده را پیدا کن، سپس خطی عمودی تا نمودار و بعد خطی افقی تا محور عمودی بکش؛ عددی که روی محور عمودی می‌خوانی همان f(x) است. اگر در آن x چند خروجی داشته باشیم، نمودار تابع نیست و اگر نقطه باز باشد، آن مقدار در تابع پذیرفته نمی‌شود.

خواندن مقدار تابع از روی نمودار

فرض کن نمودار تابع از نقطه بسته (۲،۵) عبور می‌کند. در این حالت وقتی x=۲ باشد، خروجی y=۵ است؛ بنابراین f(۲)=۵. ترتیب مختصات را جابه‌جا نکن: عدد اول ورودی و عدد دوم خروجی است. برای جلوگیری از خطا، مسیر حرکتت را همیشه از محور x به نمودار و سپس از نمودار به محور y انجام بده.

تفاوت ورودی و خروجی

در عبارت f(۳)=۷، عدد ۳ ورودی و عدد ۷ خروجی است. روی نمودار، ورودی روی محور افقی و خروجی روی محور عمودی قرار دارد. اگر سؤال مختصات نقطه‌ای مانند (۴،−۲) را بدهد، مستقیماً نتیجه می‌گیریم f(۴)=−۲؛ اما f(−۲)=۴ نادرست است، مگر اینکه نقطه (−۲،۴) نیز روی نمودار باشد.

نقطه باز، نقطه بسته و مقدار تعریف‌نشده

نقطه بسته یعنی آن نقطه جزو نمودار است و مقدار تابع در آن x پذیرفته می‌شود. نقطه باز یعنی نمودار در آنجا ادامه دارد اما خود نقطه عضو تابع نیست. مثلاً اگر در x=۱ یک نقطه باز در ارتفاع ۴ و نقطه بسته در ارتفاع ۲ داشته باشیم، مقدار تابع f(۱)=۲ است، نه ۴. اگر هیچ نقطه‌ای با x مشخص روی نمودار نباشد، تابع در آن ورودی تعریف نشده است.

مثال محاسباتی مرحله‌به‌مرحله

نمودار تابع از نقاط بسته (−۲،۳)، (۰،−۱) و (۴،۵) عبور می‌کند. پس f(−۲)=۳، f(۰)=−۱ و f(۴)=۵. برای محاسبه f(۰) لازم نیست ضابطه‌ای بسازیم؛ کافی است محل برخورد نمودار با خط عمودی x=۰ را بخوانیم. اگر نمودار بین دو نقطه خط راست باشد، برای مقدارهای میانی نیز می‌توان از شیب استفاده کرد. مثلاً بین (۰،−۱) و (۴،۵)، شیب برابر ۶÷۴=۳÷۲ است؛ بنابراین در x=۲ خروجی −۱+۳=۲ خواهد بود.

کنترل تابع بودن نمودار

آزمون خط عمودی کمک می‌کند بفهمیم نمودار یک تابع است یا نه. اگر یک خط عمودی نمودار را در دو نقطه یا بیشتر قطع کند، یک ورودی چند خروجی دارد و نمودار تابع نیست. در چنین سؤالی پیش از خواندن مقدار، مطمئن شو شکل واقعاً نمودار یک تابع است. این کنترل مخصوصاً در دایره، بیضی و نمودارهای چندشاخه اهمیت دارد.

چک‌لیست حل سؤال

۱) عدد داده‌شده را روی محور افقی پیدا کن. ۲) خط عمودی فرضی تا نمودار بکش. ۳) نقطه متناظر را مشخص کن. ۴) ارتفاع آن نقطه را روی محور عمودی بخوان. ۵) باز یا بسته بودن نقطه را بررسی کن. ۶) علامت عدد و ترتیب مختصات را دوباره کنترل کن. اگر دو نقطه هم‌ارتفاع باشند، خروجی یکسان است؛ اما این به معنی برابر بودن ورودی‌ها نیست.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

مقدار تابع از مختصات عمودی نقطه‌ای به دست می‌آید که ورودی مشخص‌شده را روی نمودار نشان می‌دهد. نقطه بسته پذیرفته می‌شود، نقطه باز پذیرفته نمی‌شود و آزمون خط عمودی تابع بودن نمودار را بررسی می‌کند. تمرین ۱: نمودار از نقطه بسته (۳،−۴) و نقطه باز (۳،۲) می‌گذرد. f(۳) را بیابید. پاسخ: نقطه بسته ملاک است؛ بنابراین f(۳)=−۴ و نقطه باز (۳،۲) در مقدار تابع وارد نمی‌شود. تمرین ۲: خطی از نقاط (۱،۲) و (۵،۱۰) می‌گذرد. مقدار تابع در x=۳ چیست؟ پاسخ: شیب خط برابر (۱۰−۲)÷(۵−۱)=۲ است. از x=۱ تا x=۳، دو واحد حرکت داریم؛ خروجی ۲+۲×۲=۶ است. پس f(۳)=۶.

لینک‌های مرتبط

برای تمرین بیشتر می‌توانی به مطالب «تشخیص دامنه از روی نمودار تابع» با slug دامنه-from-function-graph، «تشخیص ریشه تابع از روی نمودار» با slug graph-intercepts-function-roots و «تشخیص شیب خط از روی نمودار» با slug slope-from-line-graph-konkur مراجعه کنی.

تمرین خودسنجی با پاسخ