خواندن عرض از مبدأ از روی نمودار خط؛ تشخیص سریع نقطه برخورد با محور y

پاسخ کوتاه

خواندن عرض از مبدأ از روی نمودار خط یعنی پیدا کردن مختصات نقطه‌ای که خط، محور عمودی را قطع می‌کند. در این نقطه همیشه x=0 است؛ بنابراین اگر خط محور y را در نقطه (0,b) قطع کند، عدد b همان عرض از مبدأ است. برای نمونه، اگر نمودار از محور عمودی در نقطه (0,-3) بگذرد، عرض از مبدأ برابر -3 است و معادله خط، در صورت دانستن شیب m، به شکل y=mx-3 نوشته می‌شود. در ادامه با روش دیداری، روش عددی و کنترل پاسخ آشنا می‌شوید.

مفهوم عرض از مبدأ چیست؟

هر خط غیرعمودی ممکن است محورهای مختصات را قطع کند. محل برخورد با محور y نقطه‌ای است که مؤلفه افقی آن صفر باشد؛ پس شکل این نقطه (0,b) است. حرف b در معادله y=mx+b همین مقدار را نشان می‌دهد. نباید عرض از مبدأ را با شیب اشتباه گرفت: شیب تغییر عمودی نسبت به تغییر افقی است، اما عرض از مبدأ فقط جایگاه برخورد خط با محور عمودی را مشخص می‌کند.

خواندن عرض از مبدأ از روی نمودار خط

ابتدا محور y را پیدا کنید؛ این محور معمولاً خط عمودی و دارای برچسب y است. سپس نقطه‌ای را که خط موردنظر با آن محور مشترک است، بخوانید. چون روی محور y مقدار x صفر است، فقط عدد ارتفاع نقطه را ثبت کنید. اگر برخورد بالای مبدأ باشد مقدار مثبت، اگر پایین مبدأ باشد مقدار منفی و اگر از مبدأ عبور کند مقدار صفر است. نقطه توپر یعنی برخورد در نمودار پذیرفته شده است؛ برای یک خط معمولی این نکته بیشتر به تشخیص دقیق شکل کمک می‌کند.

تفکیک عرض از مبدأ و شیب

دو خط می‌توانند عرض از مبدأ یکسان اما شیب‌های متفاوت داشته باشند؛ هر دو از یک نقطه روی محور y عبور می‌کنند ولی در جهت‌های مختلف ادامه می‌یابند. همچنین ممکن است دو خط شیب برابر اما عرض از مبدأ متفاوت داشته باشند؛ در این حالت موازی‌اند و محور y را در ارتفاع‌های جدا قطع می‌کنند. بنابراین برای پیدا کردن b به جهت خط نگاه نکنید و فقط محل برخورد با محور عمودی را بخوانید.

تبدیل خوانده نمودار به معادله

اگر شیب خط را از دو نقطه یا شبکه مختصات به دست آورده‌اید و برخورد با محور y برابر b است، از رابطه y=mx+b استفاده کنید. مثلاً خطی از (0,2) و (3,8) می‌گذرد. شیب برابر است با (8-2)/(3-0)=2. چون خط در (0,2) محور y را قطع می‌کند، معادله آن y=2x+2 است. برای کنترل، با قرار دادن x=3 داریم y=8؛ پس نقطه دوم نیز روی خط قرار می‌گیرد.

وقتی نمودار دقیقاً روی محور y نیست

گاهی نمودار کامل نمایش داده نمی‌شود یا محل تقاطع میان دو خط شبکه قرار می‌گیرد. در این حالت یک نقطه دیگر روی خط پیدا کنید و با شیب معلوم، رابطه y=mx+b را بازسازی کنید. اگر نقطه (x,y) و شیب m را دارید، b را از b=y-mx به دست آورید. برای مثال، اگر m=3 و نقطه (2,7) داده شود، b=7-3×2=1 است. پس خط محور y را در ارتفاع 1 قطع می‌کند.

چک‌لیست حل سؤال

۱) محور عمودی را شناسایی کن. ۲) مقدار x در آن محور را صفر در نظر بگیر. ۳) عدد y محل برخورد خط را بخوان. ۴) علامت عدد را با جایگاه نقطه نسبت به مبدأ کنترل کن. ۵) اگر معادله خواسته شده، مقدار خوانده‌شده را جای b بگذار. ۶) با یک نقطه دیگر، درستی معادله را آزمایش کن. رایج‌ترین خطا این است که دانش‌آموز عدد مربوط به برخورد با محور x را به جای عرض از مبدأ انتخاب می‌کند؛ برخورد با محور x ریشه یا طول از مبدأ است و مؤلفه y آن صفر است.

جمع‌بندی: عرض از مبدأ را درست بخوانید

عرض از مبدأ، مؤلفه y نقطه برخورد خط با محور y است و همیشه با قرار دادن x=0 به دست می‌آید. در فرم y=mx+b، عدد ثابت b همین مقدار است. برای حل مطمئن، ابتدا محل برخورد با محور عمودی را بخوانید، سپس آن را از شیب جدا کنید و در پایان با یک نقطه دیگر پاسخ را کنترل کنید. این روش هم برای نمودارهای واضح و هم برای نمودارهایی که فقط یک نقطه از آن‌ها داده شده کاربرد دارد.

تمرین خودسنجی با پاسخ