مساحت چندضلعی منتظم با شعاع داخلی؛ فرمول محیط ضربدر آپوتم

پاسخ کوتاه

برای محاسبه مساحت چندضلعی منتظم با شعاع داخلی کافی است محیط شکل را در شعاع عمود از مرکز تا ضلع ضرب و حاصل را نصف کنیم. این رابطه از تقسیم چندضلعی به مثلث‌های هم‌مساحت به دست می‌آید و برای هر تعداد ضلع، از مربع تا چندضلعی‌های بزرگ‌تر، کاربرد دارد.

مساحت چندضلعی منتظم با شعاع داخلی چگونه محاسبه می‌شود؟

اگر محیط چندضلعی را P و شعاع داخلی یا آپوتم را r بنامیم، مساحت برابر A=(P×r)/2 است. آپوتم پاره‌خطی است که از مرکز شکل بر یکی از ضلع‌ها عمود می‌شود؛ بنابراین با شعاع دایره محیطی که از مرکز تا یک رأس کشیده می‌شود تفاوت دارد. شرط منتظم‌بودن باعث می‌شود همین ارتفاع برای همه مثلث‌های مرکزی یکسان باشد.

چرا فرمول محیط ضربدر آپوتم درست است؟

یک چندضلعی منتظم n ضلعی را با وصل‌کردن مرکز به همه رأس‌ها به n مثلث هم‌نهشت تقسیم کنید. قاعده هر مثلث طول ضلع s و ارتفاع آن r است، پس مساحت هر مثلث sr/2 می‌شود. مجموع مساحت‌ها n×sr/2 است. چون ns همان محیط P است، نتیجه به شکل Pr/2 نوشته می‌شود.

مثال مربع و کنترل فرمول

مربعی با ضلع 6 را در نظر بگیرید. محیط آن 24 و فاصله مرکز تا هر ضلع 3 است. بنابراین A=(24×3)/2=36 می‌شود که با فرمول آشنای ضلع به توان دو نیز برابر است. این مقایسه یک کنترل خوب است و نشان می‌دهد شعاع داخلی مربع نصف طول ضلع است.

مثال شش‌ضلعی منتظم

در شش‌ضلعی منتظم با ضلع 4، هر مثلث مرکزی متساوی‌الاضلاع است. ارتفاع آن برابر 2√3 می‌شود؛ پس آپوتم r=2√3 و محیط P=24 است. در نتیجه A=(24×2√3)/2=24√3. همچنین می‌توان مساحت شش مثلث متساوی‌الاضلاع را جمع کرد و به همین پاسخ رسید.

وقتی فقط ضلع و تعداد ضلع‌ها را داریم

اگر طول ضلع s و تعداد ضلع n داده شده باشد، محیط ns است. برای یافتن آپوتم، نصف یکی از مثلث‌های مرکزی را بررسی می‌کنیم: زاویه کنار مرکز برابر 180/n درجه است و tan(180/n)=(s/2)/r. پس r=s/[2tan(180/n)] و مساحت به صورت A=ns²/[4tan(180/n)] به دست می‌آید.

اشتباه‌های رایج در تست

رایج‌ترین خطا جایگزین‌کردن شعاع مرکز تا رأس به‌جای فاصله مرکز تا ضلع است. خطای دیگر فراموش‌کردن ضریب یک‌دوم یا استفاده از نیم‌محیط به‌جای محیط در صورت فرمول است. واحد مساحت باید مربع واحد باشد. اگر پاسخ برای شکلی با ضلع ثابت و تعداد اضلاع بیشتر غیرمنطقی به نظر می‌رسد، محیط و زاویه مرکزی را دوباره بررسی کنید.

جمع‌بندی فرمول مساحت چندضلعی منتظم

ابتدا مشخص کنید داده مسئله آپوتم است یا شعاع دایره محیطی. اگر آپوتم و محیط را دارید، مستقیم از A=Pr/2 استفاده کنید. اگر ضلع و تعداد اضلاع داده شده است، محیط را از ns و آپوتم را با تانژانت زاویه 180/n بسازید. تقسیم شکل به مثلث‌های مرکزی هم دلیل فرمول است و هم راهی مطمئن برای کنترل پاسخ.

تمرین خودسنجی با پاسخ