نرخ‌های وابسته در مشتق؛ مدل‌سازی تغییر هم‌زمان کمیت‌ها

پاسخ کوتاه

در نرخ‌های وابسته در مشتق، چند کمیت با یکدیگر تغییر می‌کنند و باید سرعت تغییر یکی را از روی دیگری پیدا کنیم. کلید حل، نوشتن رابطه‌ای میان کمیت‌ها و مشتق‌گیری از همان رابطه نسبت به متغیر مشترک، معمولاً زمان، است.

ایده اصلی و انتخاب متغیر

فرض کنید شعاع دایره‌ای با زمان تغییر می‌کند و مساحت آن نیز تغییرپذیر است. رابطه هندسی مساحت برابر A=πr² است. چون r و A هر دو تابعی از زمان t هستند، آن‌ها را به شکل A(t) و r(t) در نظر می‌گیریم. هدف، یافتن dA/dt یا dr/dt است؛ یعنی نرخ تغییر هر کمیت نسبت به زمان.

مشتق‌گیری از رابطه وابسته

از رابطه A=πr² نسبت به t مشتق می‌گیریم. با قاعده زنجیره‌ای داریم dA/dt=2πr·dr/dt. این فرمول نشان می‌دهد که نرخ تغییر مساحت فقط به نرخ تغییر شعاع وابسته نیست؛ اندازه فعلی شعاع نیز در آن اثر دارد. اگر شعاع بزرگ‌تر باشد، تغییر کوچک آن می‌تواند تغییر مساحت بیشتری ایجاد کند.

ترتیب درست جایگذاری

در مسائل این نوع، ابتدا رابطه را بنویسید، سپس نسبت به متغیر مشترک مشتق بگیرید و بعد مقادیر معلوم را جایگذاری کنید. مثلاً اگر r=3 و dr/dt=2 باشد، از رابطه بالا نتیجه می‌شود dA/dt=2π×3×2=12π. جایگذاری پیش از مشتق‌گیری معمولاً باعث از دست رفتن وابستگی متغیرها می‌شود.

بررسی واحدها و علامت

واحد، ابزار خوبی برای کنترل پاسخ است. اگر شعاع برحسب سانتی‌متر و زمان برحسب ثانیه باشد، dr/dt واحد سانتی‌متر بر ثانیه و dA/dt واحد سانتی‌متر مربع بر ثانیه دارد. همچنین علامت نرخ اهمیت دارد: نرخ مثبت یعنی کمیت در حال افزایش و نرخ منفی یعنی در حال کاهش است. اگر مخزن در حال خالی‌شدن باشد، حجم و ارتفاع معمولاً نرخ منفی دارند.

مثال حل‌شده با مخروط

حجم مخروط V=(1/3)πr²h است. اگر شعاع ثابت باشد، یعنی dr/dt=0، اما ارتفاع با نرخ dh/dt=4 تغییر کند و r=2 باشد، با مشتق‌گیری نسبت به t داریم dV/dt=(1/3)πr²·dh/dt. بنابراین dV/dt=(1/3)π×4×4=16π/3 واحد مکعب بر واحد زمان است. ثابت‌بودن شعاع باعث حذف جمله مربوط به dr/dt شد.

دام‌های رایج در حل

نباید نرخ تغییر را با خود مقدار کمیت اشتباه گرفت؛ dA/dt با A یکی نیست. همچنین اگر رابطه‌ای مانند s²=x²+y² داریم، مشتق‌گیری باید از هر سه کمیت انجام شود: 2s·ds/dt=2x·dx/dt+2y·dy/dt. پیش از محاسبه مشخص کنید کدام کمیت ثابت است، کدام نرخ داده شده و کدام نرخ خواسته شده است.

جمع‌بندی نرخ‌های وابسته در مشتق

برای حل این مسائل، کمیت‌ها را تابع متغیر مشترک بگیرید، رابطه ریاضی میان آن‌ها را بنویسید، از دو طرف نسبت به همان متغیر مشتق بگیرید و در پایان داده‌ها را جایگذاری کنید. کنترل واحد، علامت و منطقی‌بودن اندازه پاسخ، مرحله پایانی و ضروری است.

تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: مساحت دایره‌ای با شعاع r=5 سانتی‌متر است و شعاع با نرخ 3 سانتی‌متر بر ثانیه افزایش می‌یابد. نرخ افزایش مساحت را بیابید. پاسخ: از dA/dt=2πr·dr/dt استفاده می‌کنیم؛ بنابراین dA/dt=2π×5×3=30π سانتی‌متر مربع بر ثانیه. تمرین ۲: در رابطه x²+y²=25، اگر x=3، y=4 و dx/dt=2 باشد، dy/dt را پیدا کنید. پاسخ: 2x·dx/dt+2y·dy/dt=0؛ پس 3×2+4·dy/dt=0 و dy/dt=-3/2 است. تمرین ۳: حجم مکعب V=a³ است. اگر ضلع در لحظه‌ای برابر 2 و با نرخ 1 واحد بر ثانیه افزایش یابد، dV/dt چقدر است؟ پاسخ: dV/dt=3a²·da/dt=3×2²×1=12 واحد مکعب بر ثانیه.

تمرین خودسنجی با پاسخ