محاسبه طول میانه وارد بر وتر در مثلث قائم؛ فرمول و حل مثال

پاسخ کوتاه

محاسبه طول میانه وارد بر وتر در مثلث قائم از رابطه‌ای ساده به دست می‌آید: میانه‌ای که از رأس زاویه قائم به وتر می‌رسد، نصف طول وتر است. اگر وتر مثلث c باشد، طول این میانه برابر c÷2 خواهد بود؛ بنابراین در بسیاری از سؤال‌ها ابتدا باید وتر را با قضیه فیثاغورس پیدا کنیم و سپس آن را نصف کنیم.

ایده هندسی رابطه

فرض کنید مثلث قائم‌الزاویه ABC در رأس A قائم باشد و M وسط وتر BC باشد. پاره‌خط AM میانه وارد بر وتر است. چون M وسط BC است، داریم BM=CM=BC÷2. در مثلث قائم، مرکز دایره محیطی وسط وتر است؛ پس فاصله آن از هر سه رأس برابر است و نتیجه می‌شود AM=BM=CM. بنابراین AM=BC÷2.

فرمول اصلی و شرط استفاده

اگر وتر را با c و میانه وارد بر آن را با m نشان دهیم، رابطه اصلی چنین است: m=c/2. این فرمول فقط برای میانه‌ای به کار می‌رود که از رأس زاویه قائم به وسط وتر وصل شده باشد. نمی‌توان آن را برای میانه وارد بر یکی از ضلع‌های قائم بدون بررسی بیشتر استفاده کرد.

پیدا کردن وتر با فیثاغورس

اگر طول دو ضلع قائم a و b داده شده باشد، ابتدا وتر را حساب می‌کنیم: c²=a²+b². سپس طول میانه برابر c/2 است. ترتیب کار مهم است؛ نصف کردن یکی از ضلع‌های قائم پاسخ درستی نمی‌دهد، زیرا میانه موردنظر به وتر مربوط است.

مثال محاسباتی

در مثلثی قائم، دو ضلع قائم ۶ و ۸ هستند. ابتدا وتر را می‌یابیم: c²=۶²+۸²=۳۶+۶۴=۱۰۰، پس c=۱۰. چون میانه از رأس قائم به وتر می‌رسد، طول آن m=۱۰÷۲=۵ است. برای کنترل، فاصله میانه تا هر سه رأس باید برابر باشد؛ در این مثال هر سه فاصله ۵ واحد خواهند بود.

وقتی خود وتر داده شده است

اگر در صورت سؤال وتر مستقیماً داده شود، نیازی به استفاده از فیثاغورس نیست. مثلاً اگر وتر ۱۴ باشد، میانه وارد بر وتر ۷ است. در چنین پرسش‌هایی دقت کن که عبارت «وسط وتر» یا «میانه از رأس قائم» واقعاً وجود داشته باشد؛ ارتفاع وارد بر وتر با میانه یکی نیست و معمولاً طول متفاوتی دارد.

تفاوت میانه و ارتفاع

میانه، پاره‌خطی است که رأس را به وسط ضلع مقابل وصل می‌کند؛ ارتفاع، پاره‌خط عمودی از رأس بر ضلع مقابل است. در مثلث قائم، میانه وارد بر وتر نصف وتر است، اما ارتفاع وارد بر وتر از رابطه h=ab/c به دست می‌آید. اشتباه گرفتن این دو، یکی از خطاهای رایج در سؤال‌های ترکیبی هندسه است.

چک‌لیست حل سؤال

۱) رأس زاویه قائم را پیدا کن. ۲) بررسی کن پاره‌خط به وسط وتر وصل شده باشد. ۳) اگر وتر معلوم نیست، با فیثاغورس آن را به دست آور. ۴) وتر را بر ۲ تقسیم کن. ۵) واحد طول و مثبت بودن پاسخ را کنترل کن.

جمع‌بندی محاسبه طول میانه وارد بر وتر در مثلث قائم

در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانه‌ای که از رأس قائم به وتر می‌رسد با نصف وتر برابر است. پس اگر وتر معلوم باشد، پاسخ فوری c/2 است؛ اگر دو ضلع قائم معلوم باشند، ابتدا c=√(a²+b²) را محاسبه کن و سپس m=c/2 را به کار ببر. پیش از محاسبه، میانه را با ارتفاع یا نیمساز اشتباه نکن.

تمرین خودسنجی با پاسخ