مجموعه و منطق در کنکور؛ اجتماع، اشتراک و قوانین دمورگان
آموزش عملیات مجموعهها، نمودار ون، متمم و قوانین دمورگان و ترجمه گزارههای منطقی در تست.
پاسخ کوتاه
سؤالهای مجموعه و منطق بیش از محاسبه به ترجمه دقیق نمادها نیاز دارند. اجتماع به معنی «حداقل یکی»، اشتراک به معنی «هر دو» و متمم به معنی خارج مجموعه نسبت به مجموعه مرجع است.
اجتماع و اشتراک
A∪B عضوهایی را دارد که در A یا B یا هر دو باشند. A∩B فقط عضوهای مشترک را نگه میدارد. واژه «یا» در ریاضی معمولاً شامل حالت هر دو نیز میشود، مگر متن صریحاً یا انحصاری بخواهد.
متمم و مجموعه مرجع
متمم A شامل عضوهای مجموعه مرجع است که در A نیستند. بدون تعیین مجموعه مرجع، متمم معنای کامل ندارد. در نمودار ون، ناحیه بیرون دایره A ولی داخل مستطیل مرجع رنگ میشود.
قوانین دمورگان
متمم اجتماع برابر اشتراک متممها و متمم اشتراک برابر اجتماع متممهاست. به زبان ساده، نفی «A یا B» یعنی نه A و نه B؛ نفی «A و B» یعنی دستکم یکی برقرار نیست.
شمارش اعضا
برای دو مجموعه متناهی، n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B). اشتراک یک بار در هر مجموعه شمرده شده و باید یک بار کم شود. برای سه مجموعه، اشتراکهای دوتایی و سهتایی را با اصل شمول و عدم شمول مدیریت کن.
مثال و تست کوتاه
در کلاسی 20 نفر ریاضی و 15 نفر فیزیک دوست دارند و 8 نفر هر دو را. تعداد دوستداران حداقل یکی 20+15-8=27 است. اگر کلاس 30 نفر باشد، 3 نفر هیچکدام را انتخاب نکردهاند.
چکلیست حل تست
- یا معمولاً شامل حالت هر دو است.
- در شمارش اجتماع، اشتراک را یک بار کم کن.
- در دمورگان عملگر اجتماع و اشتراک جابهجا میشود.