تابع علامت؛ ضابطه چندبخشی و کاربرد در معادله
آموزش تابع علامت، نمودار سهمقداری، ارتباط با قدرمطلق و حل عبارتهای شامل sgn در تست تابع.
پاسخ کوتاه
تابع علامت فقط مثبت، منفی یا صفر بودن ورودی را ثبت میکند. مقدار آن برای ورودی مثبت یک، برای ورودی منفی منفی یک و در صفر برابر صفر است؛ این تعریف چندبخشی ابزار فشردهای برای نوشتن روابط قدرمطلق و تحلیل علامت است.
تعریف چندبخشی
sgn(x)=1 برای x>0، برابر 0 برای x=0 و برابر -1 برای x<0 است. دامنه همه اعداد حقیقی و برد مجموعه {-1,0,1} است؛ صفر یک حالت مستقل دارد و نباید در یکی از دو بازه ادغام شود.
نمودار تابع
نمودار شامل دو نیمخط افقی y=1 و y=-1 با دایره باز در x=0 و نقطه پر (0,0) است. تابع در صفر ناپیوسته و در هر نقطه غیرصفر ثابت و دارای مشتق صفر است.
ارتباط با قدرمطلق
برای x≠0 داریم sgn(x)=x/|x| و همچنین |x|=x·sgn(x) برای همه x برقرار است. رابطه نخست در صفر تعریف نمیشود، اما رابطه دوم در صفر نیز دو طرف صفر دارد.
ترکیب با تابع
sgn(f(x)) علامت خروجی f را نشان میدهد. برای رسم یا حل، نقاط صفر و ممنوع f را پیدا و جدول علامت بساز؛ سپس روی بازههای مثبت مقدار یک و روی بازههای منفی مقدار منفی یک قرار بده.
حل معادله
معادله sgn(f(x))=1 دقیقاً با نامعادله f(x)>0 همارز است. مقدار صفرهای f پذیرفته نیستند، زیرا در آن نقاط تابع علامت صفر میشود؛ برای سمت راست -1 نیز شرط f(x)<0 داریم.
مثال حلشده
برای sgn(x²-4)=1 باید x²-4>0 باشد، پس x<-2 یا x>2. نقاط -2 و 2 حذف میشوند؛ اگر سمت راست صفر بود، فقط همین دو ریشه پاسخ بودند.
چکلیست حل تست
- مقدار تابع علامت در صفر دقیقاً صفر است.
- sgn(f)=1 یعنی f>0، نه f≥0.
- رابطه x/|x| در صفر تعریف نشده است.