ساده کردن کسر مرکب؛ روش مرحله‌ای برای حذف کسرهای تو‌در‌تو

پاسخ کوتاه

برای ساده کردن کسر مرکب، ابتدا کسر بزرگ را به شکل «صورتِ کسر تقسیم بر مخرجِ کسر» بنویسید، سپس هر بخش را جداگانه ساده کنید و در پایان تقسیم را با ضرب در وارونۀ کسر دوم انجام دهید. مهم‌ترین نکته این است که هیچ مخرجی نباید صفر شود؛ بنابراین شرط‌های تعریف‌پذیری را پیش از حذف عامل‌ها یادداشت کنید.

کسر مرکب چیست؟

کسر مرکب کسری است که در صورت یا مخرج خود یک کسر دیگر دارد؛ مانند (1+1/2)/(3/4). این عبارت را نباید بدون توجه به پرانتزها به چند کسر جدا تبدیل کرد. خط کسر اصلی، صورت و مخرج بزرگ را از هم جدا می‌کند. تشخیص همین ساختار، نخستین مرحله حل است.

ساده کردن کسر مرکب

برای ساده کردن کسر مرکب، صورت و مخرج کسر بزرگ را جداگانه حساب کنید. در مثال (1+1/2)/(3/4)، صورت برابر 3/2 است. سپس داریم (3/2)÷(3/4). تقسیم بر یک کسر یعنی ضرب در وارونۀ آن؛ پس (3/2)×(4/3)=2. بنابراین مقدار کسر مرکب برابر 2 است.

روش مخرج مشترک در کسرهای تو‌در‌تو

گاهی صورت یا مخرج شامل چند کسر با مخرج‌های متفاوت است. در عبارت (1/2+1/3)/(5/6-1/4)، ابتدا برای صورت مخرج مشترک 6 می‌گیریم: 3/6+2/6=5/6. برای مخرج، مخرج مشترک 12 است: 10/12-3/12=7/12. حال عبارت به (5/6)÷(7/12) تبدیل می‌شود و با ضرب در وارونه، (5/6)×(12/7)=10/7 به دست می‌آید.

کسر مرکب جبری و شرط تعریف‌پذیری

در عبارت (1/x+1/2)/(1/x-1/2)، ابتدا باید x≠0 باشد، چون x در مخرج قرار دارد. صورت برابر (2+x)/(2x) و مخرج برابر (2-x)/(2x) است؛ بنابراین کسر بزرگ برابر (x+2)/(2-x) می‌شود، به شرط x≠0 و x≠2. حذف عامل مشترک، شرط‌های اولیه را از بین نمی‌برد.

کنترل جواب با جایگذاری

برای بررسی نتیجه، یک مقدار مجاز انتخاب کنید. در مثال جبری، اگر x=1 باشد، عبارت اصلی برابر (1+1/2)/(1-1/2)=3 است. جواب ساده‌شده نیز (1+2)/(2-1)=3 می‌شود. این کنترل عددی جای استدلال جبری را نمی‌گیرد، اما خطای علامت یا وارون‌کردن را سریع آشکار می‌کند.

خطاهای رایج و چک‌لیست حل

هرگز صورت و مخرج یک کسر را جداگانه بر یک جمله تقسیم نکنید؛ ساده‌سازی فقط وقتی مجاز است که عامل مشترک داشته باشیم. همچنین در تقسیم کسرها، کسر دوم وارونه می‌شود، نه کسر اول. چک‌لیست: ساختار کسر اصلی را مشخص کن؛ شرط مخرج‌های داخلی را بنویس؛ صورت و مخرج را جدا ساده کن؛ تقسیم را به ضرب در وارونه تبدیل کن؛ جواب را با یک مقدار مجاز کنترل کن.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

جمع‌بندی: کسر مرکب با محاسبه جداگانه صورت و مخرج و سپس ضرب در وارونۀ مخرج ساده می‌شود. تمرین ۱: (2/3+1/6)/(5/4-1/2) را بیابید. پاسخ کامل: صورت 4/6+1/6=5/6 و مخرج 5/4-2/4=3/4 است؛ پس (5/6)÷(3/4)=(5/6)×(4/3)=10/9. تمرین ۲: (1/x+1)/(1/x-1) را ساده کنید. پاسخ کامل: شرط x≠0 و x≠1 است. صورت (1+x)/x و مخرج (1-x)/x می‌شود؛ بنابراین جواب (x+1)/(1-x)، با همان شرط‌ها.

تمرین خودسنجی با پاسخ