حل معادله خطی دارای کسر؛ حذف مخرج بدون خطای علامت

پاسخ کوتاه

برای حل معادله خطی دارای کسر، ابتدا ک.م.مِ مخرج‌ها را پیدا کنید، دو طرف معادله را در آن ضرب کنید و سپس مانند یک معادله ساده یک‌مجهولی پیش بروید. مثلاً در معادله x/3+2/5=7/5، ک.م.م برابر ۱۵ است؛ با ضرب دو طرف در ۱۵ داریم ۵x+۶=۲۱، پس x=۳. در پایان، جواب را در معادله اصلی جایگذاری کنید تا حذف مخرج یا خطای علامت نتیجه را تغییر نداده باشد.

حل معادله خطی دارای کسر

هدف این نوع سؤال، جداکردن مجهول از عددهاست؛ اما وجود چند مخرج باعث می‌شود انجام عملیات پراکنده احتمال خطا را زیاد کند. راه منظم این است که همه مخرج‌ها را در یک عدد مشترک جمع کنیم. اگر مخرج‌ها ۲، ۳ و ۶ باشند، ک.م.م آن‌ها ۶ است؛ اگر یکی از مخرج‌ها شامل عبارت دارای مجهول باشد، ابتدا باید محدودیت تعریف آن را بررسی کرد.

پیدا کردن ک.م.م مخرج‌ها

مخرج‌ها را فقط از نظر عددی یا عامل‌های جبری بررسی کنید. برای مخرج‌های ۴ و ۶، ک.م.م برابر ۱۲ است، چون ۱۲ بر هر دو بخش‌پذیر است. سپس هر جمله را در ۱۲ ضرب کنید: ۱۲×(x/4)=۳x و ۱۲×(5/6)=۱۰. نوشتن این تبدیل‌ها در یک خط، از فراموش‌کردن ضریب هر کسر جلوگیری می‌کند.

ضرب کل دو طرف و ساده‌سازی

اگر معادله به صورت x/4-1/3=5/6 باشد، ک.م.م مخرج‌ها ۱۲ است. پس ۱۲ را در تمام عبارت‌های سمت چپ و راست ضرب می‌کنیم: ۳x-۴=۱۰. اکنون کسرها حذف شده‌اند و با افزودن ۴ به دو طرف، ۳x=۱۴ و در نتیجه x=۱۴/۳ به دست می‌آید. ضرب فقط یک جمله در ک.م.م، معادله را تغییر می‌دهد و نادرست است.

کنترل علامت و پرانتز

در معادله (x-2)/5=3/4، ضرب در ۲۰ نتیجه ۴(x-2)=۱۵ است، نه ۴x-۲=۱۵؛ زیرا ضریب ۴ باید به تمام پرانتز برسد. سپس ۴x-۸=۱۵ و x=۲۳/۴ می‌شود. همچنین در عبارت -(x+1)/3، علامت منفی برای کل صورت است و باید پس از ضرب به شکل -(x+1) باقی بماند.

مثال محاسباتی کامل

معادله ۲x/۳+۱/۴=x/۶+۵/۴ را در نظر بگیرید. ک.م.م مخرج‌ها ۱۲ است. با ضرب کل معادله در ۱۲ داریم ۸x+۳=۲x+۱۵. با انتقال ۲x به چپ و ۳ به راست، ۶x=۱۲ و بنابراین x=۲. کنترل: سمت چپ ۴/۳+۱/۴ برابر ۱۹/۱۲ و سمت راست ۱/۳+۵/۴ نیز ۱۹/۱۲ است؛ پس جواب درست است.

خطاهای رایج و چک‌لیست

مخرج مشترک را فقط برای یک طرف ننویسید؛ همه جمله‌های دو طرف باید ضرب شوند. پس از حذف کسرها، علامت جمله‌های منفی را دوباره بررسی کنید. اگر ضریب مجهول صفر شد، معادله ممکن است بی‌جواب یا دارای بی‌نهایت جواب باشد؛ در چنین حالتی دو طرف ثابت را مقایسه کنید. چک‌لیست نهایی: ک.م.م، ضرب کامل، بازکردن پرانتز، انتقال جمله‌ها و جایگذاری.

جمع‌بندی؛ مسیر امن حل معادله

ابتدا مخرج‌ها را فهرست کنید، ک.م.م را بیابید و کل دو طرف را در آن ضرب کنید. سپس پرانتزها را دقیق باز کنید، جمله‌های دارای مجهول را در یک طرف جمع کنید و در پایان جواب را در معادله اصلی بیازمایید. این ترتیب کوتاه، هم سرعت را بالا می‌برد و هم خطاهای ناشی از علامت یا ضرب ناقص را آشکار می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ