حل دستگاه دو معادله خطی با روش حذف؛ از هم‌ضریب‌سازی تا کنترل جواب

پاسخ کوتاه

در حل دستگاه دو معادله خطی با روش حذف، هدف این است که ضریب یکی از مجهول‌ها را در دو معادله برابر یا قرینه کنیم تا با جمع یا تفریق دو معادله، آن مجهول حذف شود. سپس مجهول باقی‌مانده را به دست می‌آوریم و با جایگذاری، هر دو مقدار را کنترل می‌کنیم.

دستگاه خطی چیست؟

دستگاه دو معادله خطی معمولاً به شکل ax+by=c و dx+ey=f نوشته می‌شود. جواب دستگاه، زوج مرتب (x,y)ای است که هر دو معادله را هم‌زمان درست کند. بنابراین حل جداگانه هر معادله کافی نیست؛ باید نقطه مشترک دو رابطه را پیدا کنیم.

حل دستگاه دو معادله خطی با روش حذف

ابتدا یکی از مجهول‌ها را برای حذف انتخاب کن؛ معمولاً مجهولی را برمی‌گزینیم که ضریب‌های ساده‌تری دارد. اگر ضرایب آن برابر باشند، دو معادله را تفریق می‌کنیم و اگر قرینه باشند، آن‌ها را جمع می‌کنیم. اگر برابر یا قرینه نباشند، یک یا هر دو معادله را در عددی مناسب ضرب می‌کنیم.

مثال محاسباتی مرحله‌به‌مرحله

دستگاه 2x+3y=13 و 4x−3y=5 را در نظر بگیر. ضریب y در دو معادله 3 و −3 است؛ پس دو معادله را جمع می‌کنیم: 6x=18 و بنابراین x=3. اکنون x=3 را در معادله اول می‌گذاریم: 2(3)+3y=13، پس 3y=7 و y=7/3. جواب دستگاه (3،7/3) است. با جایگذاری در معادله دوم نیز 4(3)−3(7/3)=12−7=5 به دست می‌آید.

اگر ضریب‌ها آماده حذف نباشند

برای دستگاه 3x+2y=12 و 5x−4y=4، حذف y آسان‌تر است. معادله اول را در 2 ضرب می‌کنیم: 6x+4y=24. حالا آن را با معادله دوم جمع می‌کنیم: 11x=28، پس x=28/11. با جایگذاری در معادله اول، 3(28/11)+2y=12 و در نتیجه 2y=48/11 و y=24/11.

تشخیص جواب یکتا، بی‌نهایت یا بدون جواب

اگر پس از حذف یک مجهول به رابطه‌ای مانند 7x=14 برسیم، یک جواب یکتا داریم. اگر به 0=0 برسیم، دو معادله یک رابطه واحد را نشان می‌دهند و جواب‌های بی‌نهایت وجود دارد. اگر به تناقضی مانند 0=5 برسیم، دستگاه هیچ جوابی ندارد. این دو حالت را نباید با اشتباه محاسباتی یکی دانست؛ نتیجه باید با ساختار ضرایب نیز سازگار باشد.

چک‌لیست کنترل در آزمون

۱) مجهول مناسب برای حذف را انتخاب کن. ۲) ضرب‌های لازم را روی همه جمله‌های یک معادله انجام بده. ۳) هنگام جمع یا تفریق، علامت‌ها را دقیق نگه دار. ۴) ابتدا یک مجهول و سپس مجهول دوم را بیاب. ۵) هر دو مقدار را در هر دو معادله جایگذاری کن. اگر کسر به دست آمد، ساده‌سازی را پیش از کنترل انجام بده.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

در روش حذف، با هم‌ضریب‌سازی و جمع یا تفریق، یک مجهول از بین می‌رود و دستگاه دو مجهولی به یک معادله ساده تبدیل می‌شود. تمرین ۱: دستگاه x+y=9 و x−y=3 را حل کنید. پاسخ کامل: با جمع دو معادله، 2x=12 و x=6؛ سپس y=3. تمرین ۲: دستگاه 2x+4y=8 و x+2y=4 چه نوع جوابی دارد؟ پاسخ کامل: معادله اول دو برابر معادله دوم است، پس هر نقطه روی خط x+2y=4 هر دو رابطه را ارضا می‌کند و دستگاه بی‌نهایت جواب دارد.

تمرین خودسنجی با پاسخ