حل نامعادله درجه دوم با نمودار سهمی؛ تعیین سریع بازه جواب

پاسخ کوتاه

برای حل نامعادله درجه دوم با نمودار سهمی، ابتدا عبارت را به شکل یک تابع درجه دوم بنویسید، ریشه‌ها و جهت بازشدن سهمی را مشخص کنید و سپس قسمت مناسب نمودار را بخوانید. این روش به‌ویژه وقتی عبارت تجزیه‌پذیر است، از جدول علامت سریع‌تر است و دلیل هندسی پاسخ را هم روشن می‌کند.

حل نامعادله درجه دوم با نمودار سهمی؛ ایده اصلی

نامعادله را به شکل ax²+bx+c>0، ax²+bx+c≥0، ax²+bx+c<0 یا ax²+bx+c≤0 بنویسید و تابع f(x)=ax²+bx+c را در نظر بگیرید. حل نامعادله یعنی پیدا کردن xهایی که نمودار سهمی در آن‌ها بالای محور x، روی محور x یا پایین آن قرار دارد. بنابراین ابتدا باید نقاط برخورد نمودار با محور x را پیدا کنیم.

جهت بازشدن سهمی و معنای علامت

علامت ضریب x² تعیین می‌کند سهمی به کدام سمت باز شود. اگر a>0 باشد، دهانه سهمی رو به بالا است؛ در این حالت نمودار بیرون از دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی می‌شود. اگر a<0 باشد، دهانه رو به پایین است؛ پس علامت‌ها برعکس می‌شوند: بیرون ریشه‌ها منفی و بین ریشه‌ها مثبت است. این قاعده زمانی کاربرد دارد که دو ریشه حقیقی متمایز داشته باشیم.

پیدا کردن ریشه‌ها و توجه به دلتا

ریشه‌ها از حل معادله ax²+bx+c=0 به دست می‌آیند و فرمول آن‌ها x=(-b±√Δ)/(2a) است؛ در این رابطه Δ=b²-4ac. اگر Δ>0 باشد دو نقطه برخورد داریم. اگر Δ=0 باشد سهمی فقط در رأس به محور x مماس است. اگر Δ<0 باشد نمودار محور x را قطع نمی‌کند و علامت تابع در همه دامنه ثابت می‌ماند؛ این علامت را می‌توان از علامت a تشخیص داد.

مثال محاسباتی با دو ریشه

نامعادله x²-5x+6≤0 را حل کنید. ابتدا عبارت را صفر می‌کنیم: x²-5x+6=(x-2)(x-3)، پس ریشه‌ها 2 و 3 هستند. چون ضریب x² مثبت است، سهمی رو به بالا باز می‌شود و مقدار تابع بین دو ریشه منفی یا صفر است. بنابراین پاسخ [2,3] است. کروشه‌ها به این دلیل آمده‌اند که علامت نامعادله شامل مساوی است و خود ریشه‌ها پذیرفته می‌شوند.

نقطه‌های مرزی و نامعادله‌های سخت

در نامعادله‌های > یا <، ریشه‌های صورت یا عبارت درجه دوم وارد جواب نمی‌شوند، چون مقدار تابع در آن‌ها صفر است. در نامعادله‌های ≥ یا ≤، ریشه‌ها وارد می‌شوند؛ مگر اینکه مسئله پس از تبدیل، مخرجی هم داشته باشد و آن نقطه را ممنوع کند. برای نمونه، در x²-4>0 ریشه‌های 2 و -2 حذف می‌شوند و پاسخ (-∞,-2)∪(2,∞) است. اما در x²-4≥0 پاسخ (-∞,-2]∪[2,∞) خواهد بود.

چک‌لیست کنترل پاسخ

۱) همه جمله‌ها را به یک طرف منتقل کن. ۲) ضریب x² و جهت سهمی را مشخص کن. ۳) ریشه‌ها یا دلتا را پیدا کن. ۴) مشخص کن شرط سؤال بالای محور، پایین محور یا روی محور را می‌خواهد. ۵) بازه‌ها و نوع کران‌ها را بنویس. در پایان یک عدد آزمایشی از هر بازه انتخاب کن؛ مثلاً برای x²-5x+6≤0، عدد 0 باید رد شود و عدد 2.5 باید پذیرفته شود.

جمع‌بندی حل نامعادله درجه دوم با نمودار سهمی

در نامعادله درجه دوم، ریشه‌ها محور را به بازه‌ها تقسیم می‌کنند و علامت ضریب x² ترتیب مثبت و منفی را تعیین می‌کند. سهمی رو به بالا بیرون ریشه‌ها مثبت و بین آن‌ها منفی است؛ سهمی رو به پایین برعکس عمل می‌کند. دلتا نیز پیش از رسم، تعداد برخوردها را مشخص می‌کند. با کنترل کران‌ها و آزمون یک عدد از هر بازه، احتمال خطای علامتی بسیار کم می‌شود.

تمرین خودسنجی با پاسخ