ریاضی کنکوریهمه مقالههاحل مسئله ارتفاع در مثلث قائم با تانژانت؛ از شکل تا پاسخ
راهنمای گام‌به‌گام تبدیل شکل و داده‌های زاویه‌ای به رابطه تانژانت برای یافتن ارتفاع، با مثال محاسباتی و تمرین خودسنجی.
پاسخ کوتاه
در حل مسئله ارتفاع در مثلث قائم با تانژانت، ابتدا زاویه داده‌شده را نسبت به ضلع روبه‌رو و ضلع مجاور مشخص می‌کنیم؛ سپس از رابطه تانژانت زاویه برابر ضلع مقابل تقسیم بر ضلع مجاور استفاده می‌کنیم. اگر ارتفاع ضلع مقابل زاویه و فاصله افقی ضلع مجاور باشد، کافی است ارتفاع را برابر فاصله در تانژانت زاویه بنویسیم و مقدار خواسته‌شده را به دست آوریم.
ایده اصلی و تشخیص ضلع‌ها
در هر مثلث قائم، نسبت تانژانت یک زاویه حاد برابر است با طول ضلع مقابل آن زاویه تقسیم بر طول ضلع مجاور. وتر در این نسبت نقشی ندارد. بنابراین اگر زاویه θ در پایۀ یک پاره‌خط باشد، فاصله افقی d ضلع مجاور و ارتفاع h ضلع مقابل باشد، داریم tan(θ)=h/d و در نتیجه h=d tan(θ). پیش از محاسبه، جای زاویه و نام ضلع‌ها را روی شکل علامت بزن تا ضلع مجاور را با وتر اشتباه نکنی.
حل مسئله ارتفاع در مثلث قائم با تانژانت
فرض کن از نقطه‌ای روی زمین، رأس یک ساختمان با زاویه 30 درجه دیده می‌شود و فاصله افقی تا پای ساختمان 12 متر است. با صرف‌نظر از ارتفاع چشم، ارتفاع ساختمان ضلع مقابل زاویه است و 12 متر ضلع مجاور محسوب می‌شود. پس h=12tan(30°). چون tan(30°)=√3/3، ارتفاع برابر 12√3/3 یا 4√3 متر است. اگر مقدار تقریبی بخواهی، می‌توانی √3 را حدود 1.73 در نظر بگیری و ارتفاع را حدود 6.92 متر حساب کنی.
وقتی ارتفاع چشم یا اختلاف ارتفاع داریم
گاهی مشاهده‌گر روی سطحی بالاتر از پای جسم ایستاده است یا ارتفاع چشم در صورت سؤال اهمیت دارد. در این حالت تانژانت، اختلاف ارتفاع بین رأس جسم و محل اندازه‌گیری زاویه را می‌دهد، نه الزاماً ارتفاع کامل جسم. اگر ارتفاع چشم e باشد، ابتدا h-e=d tan(θ) را می‌نویسیم و سپس h=e+d tan(θ) به دست می‌آید. همین نکته در سؤال‌هایی که دو نقطه مشاهده دارند، از کم‌شدن یا اضافه‌شدن اشتباه جلوگیری می‌کند.
زاویه مکمل و تغییر محل مشاهده
اگر زاویه از سطح افق و درون مثلث قائم اندازه‌گیری شود، رابطه مستقیم بالا کاربرد دارد. اما اگر زاویه با خط عمودی داده شود، زاویه مورد نیاز برای تانژانت ممکن است مکمل آن باشد. چون tan(90°-θ)=1/tan(θ)، باید ابتدا زاویه را نسبت به ضلع افقی یا عمودی درست تفسیر کنی. در مسئله‌ای با دو مشاهده‌گر، برای هر مشاهده یک معادله جدا بنویس و مجهول مشترک را با همان قرارداد اندازه‌گیری دنبال کن.
چک‌لیست کنترل پاسخ
۱) مثلث قائم را از متن یا شکل استخراج کن. ۲) زاویه مورد استفاده را مشخص کن. ۳) ضلع مقابل و مجاور را نام‌گذاری کن. ۴) رابطه تانژانت را بدون جایگذاری عدد بنویس. ۵) واحد طول‌ها را یکسان کن. ۶) بررسی کن پاسخ از فاصله افقی بزرگ‌تر یا کوچک‌تر بودن منطقی خود را حفظ کند؛ برای زاویه‌های کمتر از 45 درجه، ضلع مقابل از ضلع مجاور کوتاه‌تر است و برای زاویه‌های بیشتر از 45 درجه، بلندتر می‌شود.
اشتباه‌های رایج
استفاده از سینوس یا کسینوس وقتی فقط ضلع مقابل و مجاور داده شده‌اند، یک خطای رایج است. خطای دیگر، استفاده از فاصله مورب به جای فاصله افقی است؛ فاصله مورب وتر است و باید فقط در نسبت مناسب وارد شود. همچنین ماشین‌حساب باید روی درجه تنظیم باشد، اگر زاویه با درجه بیان شده است. در پایان، واحد پاسخ را همان واحد اندازه‌گیری مسئله بنویس.
جمع‌بندی؛ تبدیل شکل به رابطه
برای این تیپ سؤال، شکل را به یک مثلث قائم ساده تبدیل کن، زاویه را نسبت به خط افق بخوان و از tan(θ)=مقابل/مجاور استفاده کن. اگر مجهول ارتفاع باشد، معمولاً h=d tan(θ) یا در حضور ارتفاع اولیه، h=e+d tan(θ) به کار می‌رود. کنترل واحد، تشخیص درست زاویه و بررسی معقول‌بودن اندازه، سه مرحله پایانی برای اطمینان از پاسخ‌اند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
از نقطه‌ای در فاصله 10 متری پای یک تیر، رأس تیر با زاویه 45 درجه دیده می‌شود. ارتفاع تیر را بیاب.
در مثلث قائم، tan(45°)=1 است. اگر h ارتفاع تیر و 10 ضلع مجاور باشد، h/10=1؛ بنابراین h=10 متر است.
فاصله افقی تا پای یک دیوار 8 متر و زاویه دید رأس آن 60 درجه است. اگر ارتفاع چشم مشاهده‌گر 1.5 متر باشد، ارتفاع دیوار را به صورت دقیق بنویس.
اختلاف ارتفاع رأس دیوار و چشم برابر 8tan(60°)=8√3 است. پس ارتفاع کامل دیوار h=1.5+8√3 متر است. چون زاویه 60 درجه از 45 درجه بزرگ‌تر است، بخش اختلاف ارتفاع باید از فاصله افقی بزرگ‌تر باشد و 8√3≈13.86 نیز این کنترل را تأیید می‌کند.
چک‌لیست حل تست
- وتر را در رابطه تانژانت وارد نکن؛ تانژانت فقط نسبت ضلع مقابل به مجاور است.
- پیش از محاسبه مشخص کن زاویه با خط افق سنجیده شده یا با خط عمودی.
- اگر ارتفاع چشم یا سطح اولیه داده شده، اختلاف ارتفاع را با ارتفاع کامل اشتباه نکن.
- واحد فاصله افقی و ارتفاع باید یکسان باشد.
- برای کنترل سریع، از مقایسه زاویه با 45 درجه کمک بگیر.