محاسبه مساحت مثلث با دو ضلع و زاویه بین آن‌ها؛ فرمول و حل مسئله

پاسخ کوتاه

محاسبه مساحت مثلث با دو ضلع و زاویه بین آن‌ها با رابطه S=۱/۲ ab sin C انجام می‌شود؛ در این رابطه a و b دو ضلع معلوم و C زاویه میان همان دو ضلع است. کافی است زاویه محصور را درست تشخیص دهید، مقدار سینوس را بیابید و حاصل را در نصف ضرب کنید.

ایده اصلی و تشخیص داده‌های لازم

فرمول معمول مساحت یعنی نصف حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع همیشه به ارتفاع مستقیم نیاز دارد؛ اما اگر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها را داشته باشیم، می‌توان ارتفاع را از مثلث قائم استخراج کرد. اگر ضلع‌های a و b در دو طرف زاویه C باشند، ارتفاع وارد بر ضلع a برابر b sin C است. پس S=۱/۲×a×b sin C به دست می‌آید. مهم‌ترین نکته این است که زاویه باید بین دو ضلع معلوم قرار گرفته باشد، نه زاویه‌ای مقابل یکی از آن‌ها.

محاسبه مساحت مثلث با دو ضلع و زاویه بین آن‌ها

برای استفاده از رابطه، ابتدا دو ضلع مجاور زاویه را مشخص کنید. سپس واحد زاویه را با صورت سؤال هماهنگ نگه دارید و مقدار سینوس را جای‌گذاری کنید. اگر a=۶، b=۱۰ و C=۳۰ درجه باشد، داریم S=۱/۲×۶×۱۰×۱/۲=۱۵. واحد پاسخ، واحد مربع طول است. اگر به‌جای زاویه محصور، زاویه دیگری داده شده باشد، این فرمول را مستقیم به کار نبرید؛ ابتدا باید داده‌ها را به حالت مناسب تبدیل کنید یا از رابطه دیگری کمک بگیرید.

چرا فرمول درست است؟

از رأس زاویه C بر ضلع a عمود رسم کنید. در مثلث قائم تشکیل‌شده، ضلع b وتر است و ارتفاع وارد بر a برابر b sin C می‌شود. بنابراین مساحت مثلث برابر نصف قاعده ضرب‌در ارتفاع است: S=۱/۲×a×(b sin C). در نتیجه S=۱/۲ ab sin C. این استدلال نشان می‌دهد که با تغییر نام دو ضلع نیز پاسخ عوض نمی‌شود، زیرا ضرب a و b جابه‌جایی‌پذیر است.

دام‌های رایج در تست

اول، زاویه را با ضلع روبه‌رو اشتباه نگیرید؛ باید دو ضلع انتخاب‌شده دو طرف زاویه باشند. دوم، به‌جای سینوس از کسینوس استفاده نکنید؛ کسینوس معمولاً در قضیه کسینوس برای یافتن ضلع یا زاویه به کار می‌رود. سوم، اگر زاویه ۹۰ درجه باشد، سینوس آن یک است و فرمول به نصف حاصل‌ضرب دو ضلع عمود تبدیل می‌شود. چهارم، مقدار تقریبی سینوس را زود گرد نکنید؛ گرد کردن در میانه محاسبه می‌تواند پاسخ نهایی را تغییر دهد.

مثال ترکیبی با کنترل پاسخ

در مثلثی دو ضلع ۸ و ۵ و زاویه بین آن‌ها ۶۰ درجه است. پس S=۱/۲×۸×۵×sin۶۰=۲۰×√۳/۲=۱۰√۳. برای کنترل، چون سینوس ۶۰ کمتر از یک است، مساحت باید کمتر از ۲۰ باشد و ۱۰√۳ تقریباً ۱۷٫۳ است؛ بنابراین پاسخ از نظر اندازه نیز منطقی است. اگر همان دو ضلع زاویه ۳۰ درجه می‌ساختند، مساحت ۱۰ می‌شد و کاهش زاویه باعث کاهش مساحت می‌گردید.

چک‌لیست حل سریع

۱) دو ضلع مجاور زاویه را جدا کن. ۲) مطمئن شو زاویه بین همان دو ضلع است. ۳) رابطه نصف حاصل‌ضرب دو ضلع در سینوس زاویه را بنویس. ۴) مقدار دقیق سینوس را در صورت امکان حفظ کن. ۵) واحد مربع و معقول‌بودن اندازه پاسخ را کنترل کن. اگر زاویه یا ضلع‌ها به شکل دیگری داده شده‌اند، قبل از جای‌گذاری شکل ساده‌ای رسم کن تا انتخاب داده‌ها اشتباه نشود.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

رابطه S=۱/۲ ab sin C زمانی کاربرد مستقیم دارد که دو ضلع و زاویه محصور میان آن‌ها معلوم باشد. فرمول از ارتفاع‌گیری در یک مثلث قائم به دست می‌آید و تشخیص زاویه درست، مهم‌تر از محاسبه عددی است.

تمرین خودسنجی با پاسخ