ریاضی کنکوریهمه مقالههاحل معادله مثلثاتی با دایره مثلثاتی؛ از علامت تا جواب عمومی
روش حل معادله‌های ساده سینوس و کسینوس با دایره مثلثاتی، تعیین ربع درست، نوشتن جواب‌های بازه‌ای و کنترل پاسخ‌ها.
پاسخ کوتاه
برای حل معادله مثلثاتی با دایره مثلثاتی، ابتدا مقدار سینوس یا کسینوس را به مختصات نقطه روی دایره تبدیل کنید، سپس همه زاویه‌های سازگار با آن مختصات را در بازه خواسته‌شده پیدا کنید. توجه به ربع‌ها و دوره تناوب، دو مرحله‌ای هستند که بیشترین خطا را کم می‌کنند.
دایره مثلثاتی چه چیزی را نشان می‌دهد؟
روی دایره واحد، مختصات هر نقطه به‌صورت (cos θ, sin θ) نوشته می‌شود. بنابراین کسینوس برابر مؤلفه افقی و سینوس برابر مؤلفه عمودی نقطه است. اگر مقدار سینوس مثبت باشد، نقطه در نیمه بالایی دایره قرار دارد؛ اگر کسینوس منفی باشد، نقطه در نیمه چپ قرار می‌گیرد.
حل معادله مثلثاتی با دایره مثلثاتی
برای معادله sin θ=1/2، ابتدا زاویه مرجع 30 درجه را در نظر می‌گیریم؛ چون سینوس در ربع اول و دوم مثبت است، جواب‌های بازه 0 تا 360 درجه برابر 30 و 150 درجه‌اند. اگر معادله cos θ=-√3/2 باشد، زاویه مرجع 30 درجه است و چون کسینوس در ربع دوم و سوم منفی است، جواب‌ها 150 و 210 درجه خواهند بود.
زاویه مرجع و علامت‌ها
زاویه مرجع زاویه‌ای تند میان ضلع انتهایی و محور افقی است. جدول علامت‌ها کمک می‌کند ربع درست را سریع پیدا کنید: سینوس در ربع‌های اول و دوم مثبت است؛ کسینوس در ربع‌های اول و چهارم مثبت است؛ تانژانت در ربع‌های اول و سوم مثبت می‌ماند. پس از یافتن زاویه مرجع، آن را با توجه به ربع به زاویه اصلی تبدیل کنید.
جواب در بازه و جواب عمومی
اگر سؤال بازه‌ای مانند 0≤θ≤360° بدهد، فقط زاویه‌های همان بازه نوشته می‌شوند. برای جواب عمومی باید دوره را نیز وارد کنیم. برای نمونه، جواب عمومی sin θ=0 برابر θ=180°k است، چون نقاط برخورد محور افقی در فاصله‌های 180 درجه تکرار می‌شوند و k عدد صحیح است. در واحد رادیان، همین رابطه به شکل θ=kπ نوشته می‌شود.
مثال ترکیبی با بررسی پاسخ
معادله 2cos θ+1=0 را حل کنید. ابتدا cos θ=-1/2، پس زاویه مرجع 60 درجه است. کسینوس در ربع دوم و سوم منفی است؛ بنابراین در بازه 0 تا 360 درجه، θ=120° و θ=240°. با جایگذاری، 2(-1/2)+1=0 به دست می‌آید و هر دو پاسخ تأیید می‌شوند.
جمع‌بندی و چک‌لیست حل
مقدار مثلثاتی را جدا کنید، زاویه مرجع را بیابید، ربع‌های دارای علامت مناسب را مشخص کنید، زاویه‌ها را در بازه سؤال بنویسید و در پایان یکی از جواب‌ها را جایگذاری کنید. اگر بازه داده نشده است، دوره تناوب و پارامتر صحیح را در جواب عمومی فراموش نکنید. همچنین درجه و رادیان را با هم مخلوط نکنید.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: معادله sin θ=-√3/2 را در بازه 0≤θ≤360° حل کنید.
پاسخ کامل: زاویه مرجع 60 درجه است. سینوس در ربع سوم و چهارم منفی است؛ بنابراین θ=240° و θ=300°.
تمرین ۲: معادله cos θ=0 را در بازه 0≤θ≤360° حل کنید.
پاسخ کامل: کسینوس مؤلفه افقی است و روی محور عمودی صفر می‌شود. پس θ=90° و θ=270°. هر دو مقدار کسینوس صفر دارند.
تمرین ۳: جواب عمومی sin θ=1 را برحسب رادیان بنویسید.
پاسخ کامل: سینوس فقط در بالاترین نقطه دایره واحد برابر یک است؛ بنابراین θ=π/2+2kπ، که k عددی صحیح است.
چک‌لیست حل تست
- پیش از یافتن زاویه، علامت تابع مثلثاتی را مشخص کنید.
- در جواب بازه‌ای، ابتدا کران‌های بازه را دقیق بررسی کنید.
- برای کنترل، مقدار تقریبی یا جایگذاری مستقیم انجام دهید.
- در تبدیل درجه و رادیان، 180 درجه برابر π رادیان است.