ریاضی کنکوریهمه مقالههاتابع پله ای در ریاضی کنکور؛ خواندن بازهها و تحلیل نمودار
آموزش مفهوم تابع پلهای، تعیین مقدار تابع در بازهها، رسم نمودار و شمارش تغییرات با مثال و تمرین خودسنجی.
پاسخ کوتاه
تابع پله ای در ریاضی کنکور معمولاً با چند بازه تعریف میشود و در هر بازه مقدار ثابتی دارد. برای حل این سؤالها باید مرزها، نوع بازهها و مقدار متناظر هر بخش را دقیق بخوانیم؛ سپس بدون حدسزدن از تعریف تابع به نمودار یا پاسخ عددی برسیم.
ایده اصلی تابع پلهای
در یک تابع پلهای، ورودی با حرکت پیوسته تغییر میکند، اما خروجی در بازههایی مشخص ثابت میماند. برای نمونه، اگر f(x)=1 برای ۰≤x<۲ و f(x)=۳ برای ۲≤x<۵ باشد، همه ورودیهای بخش اول خروجی یکسان دارند و با رسیدن به ۲ مقدار تابع جهش میکند. پس شکل نمودار از چند پارهخط افقی تشکیل میشود، نه یک خط پیوسته مایل.
خواندن بازههای بسته و باز
نشانههای ≤ و < تعیین میکنند مرز هر پله به کدام مقدار تعلق دارد. در تعریف f(x)=۲ برای ۱≤x<۴، نقطه x=۱ در همان پله قرار دارد، اما x=۴ قرار ندارد. اگر بازه بعدی از ۴ شروع شود، مقدار تابع در ۴ باید از قانون پله بعدی خوانده شود. در نمودار، سرِ بسته را با دایره توپر و سرِ باز را با دایره توخالی نشان میدهیم.
تابع پله ای در ریاضی کنکور؛ راه تشخیص مقدار
برای یافتن f(a)، ابتدا فقط بررسی کن عدد a در کدام بازه قرار دارد؛ لازم نیست همه نمودار را رسم کنی. مثلاً اگر f(x) برابر ۴ در بازه ۲≤x<۶ و برابر منفی ۱ در بازه ۶≤x≤۹ باشد، آنگاه f(۲)=۴، f(۵٫۹)=۴ و f(۶)=-۱ است. اشتباه رایج این است که مقدار سمت چپ مرز را در خود مرز نیز به کار ببریم.
رسم نمودار و دامنه
برای رسم، هر بازه را روی محور افقی مشخص و ارتفاع ثابت همان بخش را روی محور عمودی رسم کن. اگر دامنه محدود باشد، فقط همان قسمتها را بکش؛ بیرون از دامنه تابع تعریف نشده است. مجموعه مقادیر تابع نیز از ارتفاع پلهها به دست میآید، نه از تمام عددهای بین کمترین و بیشترین ارتفاع. بنابراین ممکن است برد تابع فقط مجموعهای مانند {۱، ۳، ۵} باشد.
پرش در مرزها و پیوستگی
در نقطهای که مقدار پله عوض میشود، معمولاً تابع پیوسته نیست؛ چون حد چپ و حد راست متفاوتاند. اگر مقدار تابع در مرز برابر یکی از طرفین انتخاب شود، فقط مقدار نقطه تعیین میشود و پرش از بین نمیرود. برای بررسی، سه چیز را جدا بنویس: حد چپ، حد راست و مقدار خود تابع. برابری هر سه شرط لازم پیوستگی است.
شمارش و ترکیب مقدارها
گاهی سؤال به جای مقدار عددی، تعداد ورودیهایی را میخواهد که خروجی معینی دارند. در این حالت باید تمام بازههایی را که همان ارتفاع دارند پیدا و طول یا تعداد اعضای مناسب را بررسی کنیم. اگر ورودیها صحیح باشند، بازه ۲≤x≤۵ چهار ورودی صحیح دارد: ۲، ۳، ۴ و ۵؛ اما بازه ۲≤x<۵ فقط سه ورودی صحیح دارد. تفاوت باز و بسته در چنین شمارشی تعیینکننده است.
جمعبندی کاربردی
برای حل مطمئن، ابتدا دامنه و مرزها را بنویس، سپس عضویت هر مرز را با نماد باز یا بسته بررسی کن. بعد مقدار ورودی را در بازه درست قرار بده و در صورت نیاز نمودار یا برد را استخراج کن. در سؤالهای چندبخشی، هر پله را مستقل تحلیل کن و در پایان پاسخها را با دامنه دادهشده کنترل کن. این روش از جابهجایی مقدار دو پله و خطای شمارش جلوگیری میکند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: تابع f بهصورت f(x)=۲ برای ۰≤x<۳ و f(x)=۵ برای ۳≤x≤۷ تعریف شده است. مقدارهای f(۰)، f(۳) و f(۷) را بیابید.
پاسخ: f(۰)=۲، چون صفر در بازه نخست است؛ f(۳)=۵، چون سرِ بازه دوم شامل ۳ است؛ و f(۷)=۵، چون ۷ در بازه دوم قرار دارد.
تمرین ۲: اگر مقدار تابع روی بازه ۱≤x<۴ برابر ۶ باشد، چند عدد صحیح در این بازه وجود دارد؟ اگر بازه به ۱≤x≤۴ تغییر کند، پاسخ چه تغییری میکند؟
پاسخ: در حالت اول عددهای صحیح ۱، ۲ و ۳ هستند، پس سه عدد داریم. با بستهشدن سر راست، عدد ۴ نیز اضافه میشود و تعداد به چهار میرسد.
تمرین ۳: تابعی در بازه x<۲ مقدار ۱ و در بازه x≥۲ مقدار ۴ دارد. آیا در x=۲ پیوسته است؟
پاسخ: حد چپ در ۲ برابر ۱ و حد راست برابر ۴ است؛ چون این دو برابر نیستند، تابع در x=۲ پیوسته نیست، هرچند مقدار خود تابع برابر ۴ تعریف شده است.
چکلیست حل تست
- مرزها را پیش از جایگذاری روی محور علامت بزن.
- در هر بازه فقط ارتفاع ثابت همان بخش اهمیت دارد.
- برای ورودیهای صحیح، باز یا بسته بودن دو سر بازه را جداگانه بشمار.
- برد را از مقدارهای واقعی پلهها بنویس، نه از یک بازه پیوسته.
- پیوستگی را با مقایسه حد چپ، حد راست و مقدار تابع بررسی کن.