قضیه استوارت؛ طول پارهخط داخلی و فرمول mn
آموزش رابطه استوارت برای پارهخط وارد بر ضلع مثلث و کاربرد آن در محاسبه طول میانه و نیمساز.
پاسخ کوتاه
قضیه استوارت رابطهای عمومی برای طول هر پارهخط از یک رأس به ضلع مقابل است. میانه و نیمساز حالتهای ویژه آن هستند؛ با نامگذاری منظم دو بخش ضلع، رابطهای واحد جای چند بار استفاده از قانون کسینوس را میگیرد.
نامگذاری استاندارد
در مثلث ABC، نقطه D روی BC است؛ BD=m، DC=n، BC=a=m+n، AB=c، AC=b و AD=d. فرمول استوارت میگوید b²m+c²n=a(d²+mn). جای b و c باید با بخش روبهروی خود هماهنگ باشد.
حفظ فرمول
عبارت سمت چپ را میتوان «ضلع مربع ضربدر بخش مقابل» به خاطر سپرد: b² با m و c² با n. سمت راست کل ضلع a در مجموع d² و حاصلضرب دو بخش است؛ کنترل ابعاد نشان میدهد همه جملهها طول به توان سه دارند.
حالت میانه
اگر D وسط BC باشد، m=n=a/2 است. جایگذاری در استوارت فرمول آپولونیوس را میسازد: d²=(2b²+2c²-a²)/4. بنابراین استوارت تعمیم رابطه طول میانه است و نتیجه باید با آن سازگار باشد.
حالت نیمساز
اگر AD نیمساز باشد، از قضیه نیمساز m/n=c/b به دست میآید. ابتدا m و n را با مجموع a محاسبه و سپس در استوارت قرار بده؛ این روش طول نیمساز را بدون حفظ یک فرمول مستقل نیز پیدا میکند.
مثال حلشده
اگر a=7، m=3، n=4، b=5 و c=6 باشد، استوارت میدهد 25×3+36×4=7(d²+12). سمت چپ 219 است، پس d²+12=219/7 و d²=135/7 میشود.
کنترل محاسبه
حتماً m+n=a را پیش از جایگذاری بررسی کن. اگر d² منفی شود، دادهها مثلث معتبر نمیسازند یا ضلعها و بخشها را اشتباه متناظر کردهای. در حالت m=n، نتیجه را با فرمول میانه تطبیق بده.
چکلیست حل تست
- هر ضلع مربع در بخش مقابل ضرب میشود.
- همیشه m+n=a را کنترل کن.
- میانه و نیمساز حالتهای ویژه استوارتاند.