ریاضی کنکوریهمه مقالههاجمع عدد گویا و گنگ؛ تشخیص نوع حاصل با مثال
در این درس یاد می‌گیرید حاصل جمع عدد گویا و گنگ را با استدلال ساده، نمایش اعشاری و مثال‌های محاسباتی تشخیص دهید و پاسخ خود را کنترل کنید.
پاسخ کوتاه
جمع عدد گویا و گنگ همیشه به یک قاعده محاسباتی طولانی نیاز ندارد؛ کافی است بدانیم عدد گویا را می‌توان به صورت کسر دو عدد صحیح نوشت، اما عدد گنگ چنین نمایش کسری دقیقی ندارد. اگر یک عدد گویا را با یک عدد گنگ جمع کنیم، حاصل نمی‌تواند گویا باشد؛ زیرا در غیر این صورت با کم‌کردن عدد گویا، خود عدد گنگ نیز گویا می‌شد. در ادامه این استدلال را با مثال‌های دقیق و چند تمرین بررسی می‌کنیم.
جمع عدد گویا و گنگ چه نوع عددی می‌سازد؟
حاصل جمع یک عدد گویا و یک عدد گنگ، عددی گنگ است. برای نمونه، ۳+√۲ گنگ است. دلیل این نتیجه را می‌توان با برهان خلف فهمید: فرض کنیم حاصل گویا باشد. چون ۳ نیز گویاست، با کم‌کردن ۳ از حاصل، √۲ باید گویا شود؛ درحالی‌که √۲ گنگ است. پس فرض اولیه نادرست است.
یادآوری تعریف عدد گویا
عدد گویا عددی است که به شکل a/b نوشته شود، به شرط آنکه a و b عدد صحیح و b ناصفر باشند. عددهای صحیح، کسرها و اعشارهای مختوم یا دوره‌ای گویا هستند؛ مانند ۵، ۷/۴ و ۰٫۳۳۳… . هنگام تشخیص، لازم نیست شکل ظاهری عدد را ملاک قرار دهی؛ باید امکان نوشتن آن به صورت کسر دقیق را بررسی کنی.
عدد گنگ را چگونه تشخیص دهیم؟
عدد گنگ را نمی‌توان به صورت کسر دو عدد صحیح نوشت. ریشه دوم عددی که مربع کامل نیست، مانند √۲ یا √۷، نمونه‌ای از عدد گنگ است. اعشار گنگ بی‌پایان و غیرتناوبی است؛ بنابراین رقم‌ها بدون الگوی تکرارشونده ادامه پیدا می‌کنند. توجه کن که √۹ گنگ نیست، چون برابر ۳ است.
مثال محاسباتی و کنترل پاسخ
عبارت ۴/۵+√۳ را در نظر بگیر. عدد ۴/۵ گویاست و √۳ گنگ است، پس حاصل گنگ خواهد بود. نیازی نیست مقدار تقریبی √۳ را با چند رقم اعشار بنویسی. برای کنترل می‌توانی ببینی حاصل تقریباً ۲٫۵۳ است؛ این تقریب فقط برای درک اندازه جواب است و جای استدلال دقیق را نمی‌گیرد.
چه زمانی حاصل جمع گویا می‌شود؟
اگر دو عدد گنگ جمع شوند، حاصل ممکن است گویا یا گنگ باشد و باید عبارت را ساده کنیم. برای مثال √۲ و −√۲ هر دو گنگ‌اند، اما جمعشان صفر و در نتیجه گویاست. همچنین √۲+√۸ را می‌توان به √۲+۲√۲=۳√۲ تبدیل کرد که گنگ است. پس در جمع دو عدد گنگ، نوع حاصل از پیش یکسان نیست.
خطاهای رایج در سؤال‌های تشخیصی
یکی از خطاها این است که هر ریشه‌ای را گنگ بدانیم؛ ریشه عدد مربع کامل مانند √۱۶ برابر ۴ و گویاست. خطای دیگر، جایگزین‌کردن تقریب اعشاری با برهان است. همچنین از این گزاره که «جمع دو عدد گنگ همیشه گنگ است» استفاده نکن، چون مثال √۵−√۵ خلاف آن را نشان می‌دهد. ابتدا ساده‌سازی، سپس تشخیص نوع عدد را انجام بده.
جمع‌بندی و تمرین خودسنجی
جمع یک عدد گویا با یک عدد گنگ همیشه گنگ است، زیرا اگر حاصل گویا باشد، با تفریق عدد گویا، عدد گنگ نیز گویا خواهد شد. تمرین ۱: نوع حاصل ۷−√۵ را تعیین کنید. پاسخ کامل: ۷ گویا و √۵ گنگ است؛ تفریق عدد گویا از عدد گنگ نیز گنگ می‌ماند، پس حاصل گنگ است. تمرین ۲: نوع حاصل √۱۲−۲√۳ را بیابید. پاسخ کامل: √۱۲=۲√۳، بنابراین عبارت برابر صفر است و صفر عددی گویاست.
تمرین خودسنجی با پاسخ
نوع حاصل ۲/۳+√۷ را تعیین کنید.
۲/۳ گویاست و √۷ گنگ است، چون ۷ مربع کامل نیست؛ بنابراین حاصل جمع گنگ است.
نوع حاصل √۱۸−۳√۲ را تعیین کنید.
√۱۸=۳√۲، پس عبارت برابر ۳√۲−۳√۲=۰ است. صفر عددی گویاست.
چک‌لیست حل تست
- پیش از تشخیص، ریشه‌های مربع کامل را ساده کن.
- جمع گویا و گنگ همیشه گنگ است، اما جمع دو گنگ قاعده قطعی یکسانی ندارد.
- تقریب اعشاری را برای کنترل اندازه جواب به کار ببر، نه به‌جای استدلال.
- در عبارت‌های رادیکالی ابتدا عامل مربع کامل را از زیر رادیکال خارج کن.