ریاضی کنکوریهمه مقالههاتحلیل نمودار تابع قدرمطلق با انتقالهای پیاپی؛ از ضابطه تا شکل
روشی دقیق برای تبدیل ضابطههای قدرمطلق به نمودار، یافتن نقاط شکست، تعیین دامنه و برد و بررسی تقاطعها با تکیه بر استدلال مرحلهبهمرحله.
پاسخ کوتاه
در تحلیل نمودار تابع قدرمطلق با انتقالهای پیاپی، هدف فقط کشیدن یک شکل نیست؛ باید بتوانیم از روی ضابطه، رأسها، شیب شاخهها، دامنه، برد و محل برخورد با محورها را با اطمینان به دست آوریم. این مهارت در سؤالهای ترکیبی ارزشمند است، چون تغییرات افقی و عمودی را به یک تصویر قابل بررسی تبدیل میکند. در این درس، ابتدا الگوی مادر را میشناسیم، سپس اثر هر تبدیل را جدا میکنیم و در پایان با نوشتن ضابطههای چندبخشی، نتیجه را کنترل میکنیم.
الگوی مادر و معنای رأس
نمودار y=|x| از دو نیمخط تشکیل میشود که رأس آن در مبدأ است. برای x بزرگتر یا مساوی صفر، مقدار تابع برابر x و برای x کوچکتر از صفر، برابر -x است؛ بنابراین شیب شاخه راست ۱ و شیب شاخه چپ ۱- است. همین شکست شیب در x=0، پایه تشخیص نقاط مهم در نمودارهای پیچیدهتر است.
تحلیل نمودار تابع قدرمطلق با انتقالهای پیاپی
ضابطه عمومی y=a|x-h|+k را در نظر بگیرید. ابتدا رأس از مبدأ به نقطه (h,k) منتقل میشود. عدد a دو اثر دارد: اگر قدرمطلق آن بزرگتر از یک باشد، نمودار کشیدهتر و اگر بین صفر و یک باشد، بازتر میشود؛ علامت منفی نیز نمودار را نسبت به خط افقیِ گذرنده از رأس وارونه میکند. پس رأس، جهت بازشدن و اندازه شیبها پیش از هر محاسبهای مشخصاند.
تبدیل ضابطه به دو بخش
برای حذف قدرمطلق، باید بدانیم چه زمانی عبارت درون آن منفی یا نامنفی است. چون |x-h| برابر x-h در ناحیه x≥h و برابر h-x در ناحیه x<h است، داریم: y=a(x-h)+k برای x≥h و y=a(h-x)+k برای x<h. دو فرمول در نقطه x=h مقدار یکسان k دارند؛ بنابراین نمودار در رأس گسسته نمیشود. این کنترل پیوستگی، خطای علامت را آشکار میکند.
یافتن تقاطعها بدون رسم کامل
برای تقاطع با محور عمودی، x=0 را در ضابطه بگذارید؛ پاسخ نقطه (0,f(0)) است. برای تقاطع با محور افقی، y=0 قرار دهید و معادله a|x-h|+k=0 را حل کنید. اگر a صفر نباشد، باید |x-h|=-k/a باشد. سمت راست باید نامنفی باشد؛ در غیر این صورت نمودار با محور افقی برخورد ندارد. در صورت مثبت بودن، دو جواب h±(-k/a) به دست میآید، مگر اینکه مقدار سمت راست صفر باشد که تنها یک برخورد ایجاد میکند.
دامنه، برد و بررسی سریع
دامنه تابع a|x-h|+k، هنگامی که ضابطه محدودیت دیگری ندارد، همه اعداد حقیقی است. اگر a مثبت باشد، کمینه تابع k و برد آن [k,+∞) است؛ اگر a منفی باشد، بیشینه k و برد (-∞,k] خواهد بود. برای کنترل نهایی، رأس را در ضابطه جایگذاری کنید، جهت بازشدن را با علامت a بسنجید و تعداد ریشههای معادله f(x)=0 را با شکل ذهنی مقایسه کنید.
جمعبندی و راهبرد حل
در مسائل قدرمطلق، ابتدا عبارت داخل قدرمطلق را به شکل x-h نزدیک کنید، سپس رأس را پیدا کنید و اثر ضریب بیرونی را تعیین کنید. بعد، در صورت نیاز ضابطه را به دو بخش بنویسید و تقاطعها را جداگانه بیابید. اشتباه رایج این است که انتقال افقی را خلاف جهت بخوانیم: در |x-h|، رأس به سمت h میرود، نه به سمت -h. همچنین پیش از حل ریشهها باید شرط نامنفی بودن سمت راست معادله قدرمطلق بررسی شود.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تابع f(x)=2|x-3|-4 چند تقاطع با محور افقی دارد و رأس آن کجاست؟
پاسخ: رأس (3,-4) است. از 2|x-3|-4=0 داریم |x-3|=2، پس x=1 و x=5؛ بنابراین دو تقاطع دارد.
برد تابع g(x)=-|x+2|+5 را تعیین کنید و بگویید در چه نقطهای بیشینه دارد.
پاسخ: رأس (-2,5) است و چون ضریب منفی است، نمودار رو به پایین باز میشود. پس بیشینه ۵ و برد (-∞,5] است.
تابع h(x)=|3x-6| را به فرم رأسمحور تبدیل کنید و نقطه شکست را بیابید.
پاسخ: h(x)=3|x-2|؛ بنابراین رأس و نقطه شکست (2,0) است و نمودار رو به بالا باز میشود.
چکلیست حل تست
- رأس را پیش از هر جدول یا رسم پیدا کنید؛ این نقطه لنگر نمودار است.
- در ضابطه چندبخشی، مرز را در هر دو قطعه آزمایش کنید تا مقدارها برابر باشند.
- برای تشخیص تعداد ریشهها از برد تابع کمک بگیرید، نه فقط از حل جبری.
- اگر ضریب بیرونی منفی است، بهجای کمینه درباره بیشینه صحبت کنید.