تشخیص رأس سهمی از روی نمودار؛ راهنمای خواندن نقطه کمینه و بیشینه

پاسخ کوتاه

برای تشخیص رأس سهمی از روی نمودار، ابتدا نقطه‌ای را پیدا کنید که منحنی در آن تغییر جهت می‌دهد: اگر سهمی رو به بالا باشد، این نقطه کمینه و اگر رو به پایین باشد، بیشینه است. مختصات همان نقطه، رأس سهمی است؛ یعنی اگر نقطه تغییر جهت (h، k) باشد، رأس برابر با (h، k) است. در ادامه می‌آموزیم چگونه این نقطه را دقیق بخوانیم و از تقارن نمودار برای کنترل پاسخ استفاده کنیم.

تشخیص رأس سهمی از روی نمودار

رأس سهمی نقطه‌ای است که منحنی در آن از نزولی به صعودی یا از صعودی به نزولی تبدیل می‌شود. در سهمی رو به بالا، رأس پایین‌ترین نقطه و در سهمی رو به پایین، بالاترین نقطه است. برای خواندن مختصات، از رأس یک خط عمودی ذهنی تا محور افقی و یک خط افقی تا محور عمودی در نظر بگیرید. عدد روی محور افقی مؤلفه اول و عدد روی محور عمودی مؤلفه دوم است؛ بنابراین اگر رأس در (h، k) باشد، می‌نویسیم (h، k). دقت کنید رأس، محل برخورد سهمی با محورها یا نقطه صفر تابع نیست.

رابطه رأس با تقارن سهمی

سهمی نسبت به خطی عمودی که از رأس می‌گذرد متقارن است. اگر دو نقطه هم‌ارتفاع روی نمودار داشته باشیم، فاصله افقی آن‌ها از محور تقارن برابر است. مثلاً اگر نمودار از دو نقطه با عرض‌های ۱ و ۵ و ارتفاع یکسان عبور کند، محور تقارن از میانگین عرض‌ها می‌گذرد: (۱+۵)/۲=۳. پس مؤلفه افقی رأس برابر ۳ است. این روش زمانی مفید است که خود رأس دقیقاً روی خانه شبکه نباشد اما دو نقطه قرینه به‌وضوح دیده شوند.

مثال محاسباتی از خواندن نمودار

فرض کنید سهمی رو به بالا از نقاط (۰،۶) و (۴،۶) می‌گذرد و این دو نقطه هم‌ارتفاع‌اند. محور تقارن از (۰+۴)/۲=۲ عبور می‌کند. اگر کمترین ارتفاع نمودار ۲ باشد، رأس (۲،۲) است. برای کنترل، شکل کلی تابع را به صورت y=a(x−۲)^2+۲ در نظر بگیرید. چون سهمی رو به بالاست، ضریب a باید مثبت باشد و مقدار تابع در x=۲ کمینه می‌شود. اگر نمودار در نقطه (۱،۰) با محور افقی قطع شود، آن نقطه ریشه است و نباید با رأس اشتباه شود.

خطاهای رایج در تست

یک خطای معمول این است که دانش‌آموز نزدیک‌ترین نقطه به مبدأ را رأس فرض می‌کند؛ نزدیکی به مبدأ معیار نیست. خطای دوم جابه‌جا نوشتن مختصات است: ابتدا مؤلفه افقی و سپس مؤلفه عمودی نوشته می‌شود. خطای سوم یکی دانستن رأس و عرض از مبدأ است؛ عرض از مبدأ محل برخورد نمودار با محور عمودی است، در حالی که رأس نقطه تغییر جهت منحنی است. همچنین اگر نمودار فقط بخشی از سهمی را نشان دهد، باید از تقارن، جهت بازشدگی و نقاط مشخص‌شده کمک بگیرید.

چک‌لیست سریع پاسخ‌گویی

برای حل هر سؤال این پنج گام را انجام دهید: ۱) جهت بازشدگی سهمی را مشخص کنید؛ ۲) پایین‌ترین یا بالاترین نقطه را پیدا کنید؛ ۳) مختصات را با ترتیب (x، y) بخوانید؛ ۴) با خط تقارن یا نقاط هم‌ارتفاع پاسخ را بررسی کنید؛ ۵) اگر سؤال درباره کمینه یا بیشینه است، مقدار مؤلفه دوم را جداگانه گزارش کنید. این ترتیب مانع می‌شود نقطه تقاطع با محور یا مقدار تابع با مختصات رأس اشتباه شود.

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

رأس سهمی همان نقطه تغییر جهت نمودار است و جهت بازشدگی تعیین می‌کند که کمینه است یا بیشینه. تمرین ۱: سهمی رو به پایین از دو نقطه (−۲،۳) و (۴،۳) با ارتفاع برابر می‌گذرد و بیشترین ارتفاع آن ۱۲ است. پاسخ: محور تقارن در (−۲+۴)/۲=۱ قرار دارد و چون بیشترین ارتفاع ۱۲ است، رأس (۱،۱۲) است. تمرین ۲: رأس نمودار (−۱،۳) است و سهمی رو به بالا باز می‌شود. کمینه تابع و محور تقارن را بنویسید. پاسخ: کمینه برابر ۳، محور تقارن x=−۱ و نقطه کمینه همان (−۱،۳) است.

تمرین تکمیلی

تمرین ۳: دو نقطه (−۳،۵) و (۱،۵) روی سهمی قرار دارند و سهمی رو به بالا باز می‌شود. اگر کمینه تابع ۱ باشد، رأس را بیابید. پاسخ: محور تقارن x=(−۳+۱)/۲=−۱ است؛ پس رأس (−۱،۱) خواهد بود.

تمرین خودسنجی با پاسخ