ریاضی کنکوریهمه مقالههاقضیه تالس در مثلث؛ استدلال تناسبها و تشخیص موازی بودن
آموزش مفهومی قضیه تالس، حالت معکوس آن و روش حل تناسبهای حاصل از خطوط موازی در مثلث با مثال و تمرین.
پاسخ کوتاه
قضیه تالس در مثلث زمانی به کار میآید که خطی موازی یکی از ضلعها، دو ضلع دیگر را قطع کند. در این وضعیت، مثلث کوچک و مثلث بزرگ همشکلاند و نسبت طولهای متناظر، ابزار اصلی برای یافتن ضلع مجهول یا بررسی موازی بودن خطهاست.
ایده هندسی مسئله
فرض کنید در مثلث ABC، نقطههای D و E بهترتیب روی ضلعهای AB و AC باشند و DE با BC موازی باشد. زاویه A در دو مثلث ADE و ABC مشترک است. همچنین به دلیل موازی بودن DE و BC، زاویههای متناظر برابرند؛ بنابراین دو مثلث به روش زاویه ـ زاویه همشکلاند.
قضیه تالس در مثلث
از همشکلی مثلثهای ADE و ABC داریم: AD/AB = AE/AC = DE/BC. این رابطه میگوید هر ضلع مثلث کوچک به ضلع متناظر خود در مثلث بزرگ نسبت ثابتی دارد. برای جلوگیری از خطا، همیشه دو طول را از یک نوع انتخاب کن؛ مثلاً AD را با AB و AE را با AC مقایسه کن.
نسبت قطعهها و کل ضلع
گاهی بهجای نسبت قطعه به کل، نسبت دو قطعه روی ضلعها داده میشود. چون AB=AD+DB و AC=AE+EC، میتوان نوشت AD/DB = AE/EC. برای نمونه اگر AD=4 و DB=6 و DE موازی BC باشد، آنگاه AE/EC=4/6=2/3. بنابراین اگر EC=9 باشد، AE=6 خواهد بود.
حالت معکوس و تشخیص موازی بودن
اگر D روی AB و E روی AC باشند و نسبت AD/DB با AE/EC برابر شود، میتوان نتیجه گرفت DE با BC موازی است. این گزاره معکوس، راهی برای اثبات موازی بودن است. شرط مهم آن است که نقطهها روی دو ضلع متناظر قرار گرفته باشند و نسبتها با ترتیب یکسان نوشته شوند.
مثال حلشده
در مثلث ABC، خط DE موازی BC است. اگر AD=5، AB=15 و AC=21 باشد، از AD/AB=AE/AC استفاده میکنیم: 5/15=AE/21، پس AE=7. در نتیجه EC=AC-AE=14 است. توجه کن که محاسبه قطعه باقیمانده پس از یافتن AE انجام میشود، نه پیش از آن.
خطاهای رایج در تناسبنویسی
برابری DE و BC از موازی بودن نتیجه نمیشود؛ این دو فقط ضلعهای متناظر مثلثهای همشکلاند و معمولاً اندازههای متفاوتی دارند. همچنین نباید AD/AB را با EC/AC برابر گرفت، چون این دو طول متناظر نیستند. رسم شکل، نامگذاری دقیق رأسها و نوشتن نسبت کوچک به بزرگ، احتمال خطا را کم میکند.
جمعبندی و راهبرد حل
ابتدا موازی بودن را از شکل یا صورت سؤال تشخیص بده. سپس دو مثلث همشکل را مشخص کن، ضلعهای متناظر را با ترتیب ثابت کنار هم بگذار و تناسب بنویس. اگر نسبت قطعهها داده شد، از جمع قطعهها برای ساختن ضلع کامل استفاده کن. در حالت معکوس، برابری نسبتها را بهعنوان دلیل موازی بودن به کار ببر.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: در مثلث ABC، نقاط D و E روی AB و AC قرار دارند و DE موازی BC است. اگر AD=6، DB=4 و AE=9 باشد، مقدار EC را بیابید.
پاسخ: از AD/DB=AE/EC داریم 6/4=9/EC. بنابراین 6EC=36 و EC=6.
تمرین ۲: در مثلث ABC، D روی AB و E روی AC است. اگر AD=8، DB=12، AE=10 و EC=15 باشد، آیا DE با BC موازی است؟
پاسخ: AD/DB=8/12=2/3 و AE/EC=10/15=2/3. چون نسبتها برابرند و قطعهها متناظرند، طبق حالت معکوس قضیه تالس، DE با BC موازی است.
تمرین ۳: در مثلث ABC، DE موازی BC، AD=4، AB=10 و BC=25 است. طول DE چقدر است؟
پاسخ: از AD/AB=DE/BC داریم 4/10=DE/25. پس DE=10.
چکلیست حل تست
- نسبتها را همیشه بین ضلعهای متناظر بنویس.
- برای رسیدن به قطعه باقیمانده، ضلع کامل را از مجموع قطعهها بساز.
- در گزاره معکوس، ترتیب قطعههای دو ضلع باید یکسان باشد.
- از برابر دانستن طول ضلعهای موازی خودداری کن؛ همشکلی، تناسب میدهد نه برابری طول.