نامساوی مثلثی و فاصله روی محور؛ راهنمای حل مسائل قدرمطلق

پاسخ کوتاه

بسیاری از نامعادله‌های قدرمطلقی در ظاهر محاسباتی‌اند، اما ایده اصلی آن‌ها هندسی است: قدرمطلق فاصله یک عدد از مبدأ و |x-a| فاصله x از نقطه a روی محور اعداد است. وقتی این معنا را ببینی، به‌جای حفظ چند حالت پراکنده، می‌توانی پاسخ را با بازه‌ها و اجتماع یا اشتراک آن‌ها بسازی.

قدر مطلق به‌عنوان فاصله

برای هر عدد حقیقی x، مقدار |x| فاصله x از صفر است و همیشه نامنفی است. به‌طور کلی، |x-a| فاصله نقطه x از نقطه a است. بنابراین عبارت |x-a|<r یعنی فاصله x از a کمتر از r؛ این نامساوی فقط وقتی معنا دارد که r>0 باشد و به صورت a-r<x<a+r نوشته می‌شود.

نامعادله‌های کوچک‌تر و بزرگ‌تر

اگر r>0 باشد، |x-a|≤r یعنی x در بازه بسته [a-r,a+r] قرار دارد. در مقابل، |x-a|>r یعنی x بیرون این بازه است و پاسخ آن (-∞,a-r)∪(a+r,∞) خواهد بود. در نامساوی‌های غیرسخت، دو سر بازه وارد پاسخ می‌شوند؛ در نامساوی‌های سخت، وارد نمی‌شوند.

فاصله بین دو نقطه

فاصله دو عدد a و b برابر |a-b| است و جابه‌جایی ترتیب اثری ندارد، چون |a-b|=|b-a|. اگر مسئله بگوید فاصله x از a دو برابر فاصله x از b است، باید معادله |x-a|=2|x-b| را بسازی و پس از بررسی نقاط مرزی، جواب‌های ممکن را به دست آوری.

نامساوی مثلثی

برای هر دو عدد حقیقی u و v داریم |u+v|≤|u|+|v|. این نتیجه از آن می‌آید که طول مستقیم بین دو نقطه از مجموع طول مسیر شکسته بیشتر نیست. همچنین با انتخاب u=(u+v)-v، رابطه معکوس مهم |u+v|≥||u|-|v|| به دست می‌آید. این دو کران برای تخمین سریع عبارت‌های قدرمطلقی بسیار مفیدند.

ترکیب چند شرط

وقتی چند نامساوی هم‌زمان داده می‌شود، پاسخ باید اشتراک مجموعه جواب‌ها باشد؛ اما اگر عبارت «یا» بیاید، اجتماع لازم است. برای نمونه، شرط |x-2|≤3 بازه [-1,5] را می‌دهد. اگر همین شرط با x>1 همراه شود، پاسخ اشتراک آن‌ها یعنی (1,5] است. رسم کوتاه روی محور از خطای علامت جلوگیری می‌کند.

مثال جمع‌بندی

نامعادله |2x-4|<6 را ابتدا به فاصله تبدیل می‌کنیم: |2(x-2)|<6، پس 2|x-2|<6 و در نتیجه |x-2|<3. بنابراین -1<x<5. توجه کن که تقسیم بر عدد مثبت 2 علامت را عوض نمی‌کند. اگر ضریب بیرونی منفی باشد، هنگام تقسیم باید جهت نامساوی را برگردانیم.

تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: مجموعه جواب |x+1|≥4 را پیدا کن. پاسخ: |x-(-1)|≥4 است؛ پس x≤-5 یا x≥3 و مجموعه جواب (-∞,-5]∪[3,∞) است. تمرین ۲: اگر |x-3|+|x+1|=6 باشد، x را بیاب. پاسخ: برای -1≤x≤3، مجموع فاصله‌ها برابر 4 است و به 6 نمی‌رسد. بیرون این بازه، در x≥3 داریم 2x-2=6، پس x=4؛ در x≤-1 داریم -2x+2=6، پس x=-2. جواب‌ها -2 و 4 هستند.

تمرین خودسنجی با پاسخ