نابرابری مثلث در هندسه؛ تشخیص امکان تشکیل و کران طول ضلع‌ها

پاسخ کوتاه

نابرابری مثلث در هندسه فقط یک فرمول حفظی نیست؛ این اصل توضیح می‌دهد چرا مجموع طول هر دو ضلع مثلث باید از ضلع سوم بزرگ‌تر باشد. با همین ایده می‌توان پیش از محاسبه‌های طولانی فهمید سه پاره‌خط مثلث می‌سازند یا نه، و برای ضلع مجهول یک بازه دقیق به دست آورد.

اصل بنیادی

در هر مثلث با ضلع‌های a، b و c، مجموع طول هر دو ضلع از ضلع سوم بزرگ‌تر است: a+b>c، a+c>b و b+c>a. چون طول‌ها مثبت‌اند، این سه نامساوی را می‌توان به صورت فشرده‌تر نیز نوشت: |a-b|<c<a+b. این فرم زمانی بسیار مفید است که دو ضلع معلوم و ضلع سوم مجهول باشد.

چرا این نابرابری درست است؟

دو رأس را با دو مسیر در نظر بگیر: مسیر مستقیم بین آن‌ها کوتاه‌ترین راه است، اما حرکت از یک رأس به رأس دیگر از مسیر شکسته‌ای شامل دو ضلع دیگر، طولی برابر با مجموع آن دو ضلع دارد. بنابراین ضلع مستقیم باید از مجموع دو ضلع مسیر شکسته کوتاه‌تر باشد. حالت مساوی فقط زمانی رخ می‌دهد که سه نقطه روی یک خط قرار بگیرند و شکل حاصل مثلث واقعی نباشد.

نابرابری مثلث در هندسه و شرط تشکیل مثلث

برای بررسی اینکه سه عدد x، y و z ضلع‌های یک مثلث هستند، کافی است بزرگ‌ترین عدد را پیدا کنیم. اگر مجموع دو عدد کوچک‌تر از بزرگ‌ترین عدد بیشتر باشد، هر سه نابرابری برقرارند و مثلث تشکیل می‌شود. برای نمونه، ۵، ۷ و ۱۱ مثلث می‌سازند، زیرا ۵+۷=۱۲>۱۱. اما ۳، ۴ و ۷ مثلث نمی‌سازند؛ چون مجموع دو ضلع دقیقاً برابر ضلع سوم است.

یافتن بازه ضلع مجهول

اگر دو ضلع مثلث ۸ و ۱۳ باشند و ضلع سوم را x بنامیم، از فرم فشرده داریم |۱۳-۸|<x<۱۳+۸؛ پس ۵<x<۲۱. اگر x طولی صحیح باشد، مقدارهای ممکن از ۶ تا ۲۰ هستند. دقت کن که دو سر بازه وارد جواب نمی‌شوند، زیرا در آن حالت سه نقطه هم‌خط می‌شوند.

کاربرد در مسئله‌های ترکیبی

گاهی سؤال مستقیماً از مثلث نام نمی‌برد و فقط فاصله سه نقطه یا سه قطعه را می‌دهد. اگر این سه فاصله مربوط به سه رأس یا سه مسیر مستقیم بین نقاط باشند، همان نابرابری برقرار است. همچنین اگر دو ضلع ثابت باشند، ضلع سوم هرچه به یکی از دو کران نزدیک‌تر شود، مثلث باریک‌تر می‌شود؛ نزدیک‌شدن به کران برابر به معنی نزدیک‌شدن به حالت هم‌خطی است.

خطاهای رایج و روش کنترل

نوشتن |a-b|≤c≤a+b برای مثلث معمولی اشتباه است؛ علامت‌ها باید strict و به صورت < باشند. خطای دیگر، فراموش‌کردن مثبت‌بودن طول‌هاست. پس از حل نامساوی، بررسی کن جواب‌ها مثبت باشند و اگر سؤال طول صحیح خواسته، فقط اعداد صحیح داخل بازه را انتخاب کن.

جمع‌بندی نابرابری مثلث

سه ضلع مثلث باید شرط مجموع دو ضلع بزرگ‌تر از ضلع سوم را برآورده کنند. برای ضلع مجهول، سریع‌ترین ابزار |a-b|<x<a+b است. کران‌های برابر حذف می‌شوند، چون شکل در آن حالت مثلث نیست. در مسائل کنکوری، پیدا کردن بزرگ‌ترین ضلع و کنترل همین یک شرط معمولاً کافی است.

تمرین خودسنجی با پاسخ