نسبت های مثلثاتی ۱۵ درجه؛ محاسبه دقیق با فرمول تفاضل زاویه‌ها

پاسخ کوتاه

برای به‌دست‌آوردن نسبت های مثلثاتی ۱۵ درجه، زاویه را به صورت ۴۵−۳۰ می‌نویسیم و از فرمول تفاضل زاویه‌ها استفاده می‌کنیم. نتیجه این است که سینوس ۱۵ درجه برابر (√۶−√۲)/۴، کسینوس آن برابر (√۶+√۲)/۴ و تانژانت آن برابر ۲−√۳ است. این روش از حفظ‌کردن پراکنده جلوگیری می‌کند و علامت‌ها را نیز قابل کنترل نگه می‌دارد.

زاویه ۱۵ درجه را چگونه بسازیم؟

زاویه ۱۵ درجه زاویه‌ای معروف است که از تفاضل دو زاویه شناخته‌شده ساخته می‌شود: ۱۵=۴۵−۳۰. بنابراین کافی است فرمول‌های تفاضل سینوس، کسینوس و تانژانت را با مقدارهای دقیق ۳۰ و ۴۵ درجه ترکیب کنیم. چون هر دو زاویه در ربع اول‌اند، همه نسبت‌ها مثبت خواهند بود.

نسبت های مثلثاتی ۱۵ درجه؛ محاسبه سینوس

از رابطه sin(a−b)=sin a cos b−cos a sin b استفاده می‌کنیم. پس sin15=sin45cos30−cos45sin30. با جایگذاری مقدارها داریم: (√۲/۲)(√۳/۲)−(√۲/۲)(۱/۲)=(√۶−√۲)/۴. در پایان، مخرج مشترک و علامت منفی بین دو رادیکال را کنترل کنید.

محاسبه کسینوس ۱۵ درجه

فرمول مناسب cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b است. بنابراین cos15=(√۲/۲)(√۳/۲)+(√۲/۲)(۱/۲)=(√۶+√۲)/۴. مثبت‌بودن جواب با قرارگرفتن زاویه ۱۵ درجه در ربع اول سازگار است. همچنین کسینوس باید از یک کوچک‌تر باشد که این مقدار چنین است.

محاسبه تانژانت بدون محاسبه جداگانه

برای تانژانت می‌توان از tan(a−b)=(tan a−tan b)/(1+tan a tan b) استفاده کرد. با a=۴۵ و b=۳۰، مقدار آن برابر (۱−۱/√۳)/(۱+۱/√۳) است. با ضرب صورت و مخرج در √۳، کسر به (√۳−۱)/(√۳+۱) می‌رسد و با گویاکردن مخرج برابر ۲−√۳ می‌شود.

کنترل جواب با رابطه‌های اصلی

برای بررسی خطا، رابطه sin²θ+cos²θ=1 را به کار ببرید. مربع دو مقدار به‌ترتیب (۴−۲√۳)/۱۶ و (۴+۲√۳)/۱۶ است و جمع آن‌ها ۸/۱۶، یعنی ۱/۲، به نظر می‌رسد؛ اما هر دو عبارت باید با دقت مربع شوند: صورت‌ها ۸−۴√۳ و ۸+۴√۳ هستند و جمع نهایی ۱ می‌شود. همچنین tan15 باید برابر sin15 تقسیم بر cos15 باشد.

کاربرد در حل سؤال و چک‌لیست

اگر سؤال ترکیبی از ۱۵ درجه و زاویه‌های دیگر بود، ابتدا همه زاویه‌ها را به ۳۰، ۴۵ و ۶۰ درجه مرتبط کنید. سپس فقط یک فرمول انتخاب کنید و علامت‌ها را بنویسید. چک‌لیست عملی: زاویه را تجزیه کن؛ فرمول جمع یا تفاضل را درست انتخاب کن؛ مقدارهای دقیق را جایگذاری کن؛ رادیکال‌ها را ساده کن؛ و با ربع زاویه و یک رابطه مثلثاتی پاسخ را کنترل کن.

جمع‌بندی؛ روش مطمئن به‌جای حفظ پراکنده

برای محاسبه دقیق، ۱۵ درجه را به شکل ۴۵−۳۰ بنویسید. از تفاضل سینوس و کسینوس، یا تفاضل تانژانت استفاده کنید. حاصل‌های مهم عبارت‌اند از sin15=(√۶−√۲)/۴، cos15=(√۶+√۲)/۴ و tan15=۲−√۳. مهم‌ترین نکته، کنترل علامت، ساده‌سازی رادیکال و بررسی دوباره با رابطه‌های اصلی است.

تمرین خودسنجی با پاسخ