محاسبه میانگین با داده مجهول؛ روش پیدا کردن مقدار ناشناخته

پاسخ کوتاه

محاسبه میانگین با داده مجهول زمانی ساده می‌شود که ابتدا میانگین را به مجموع داده‌ها تبدیل کنیم: مجموع داده‌ها برابر است با میانگین ضرب‌در تعداد داده‌ها. سپس مجموع داده‌های معلوم را کم می‌کنیم تا مقدار ناشناخته به دست آید. مهم‌ترین نکته، شمردن درست داده‌ها و تشخیص این است که میانگین مربوط به کدام مجموعه است.

پاسخ سریع: محاسبه میانگین با داده مجهول

اگر میانگین n داده برابر m باشد، مجموع همه داده‌ها nm است. اگر یکی از داده‌ها x و مجموع داده‌های معلوم S باشد، داریم x+S=nm؛ بنابراین x=nm-S. پس مسئله را به یک معادله خطی کوتاه تبدیل می‌کنیم.

تبدیل میانگین به مجموع

فرمول میانگین برابر است با میانگین = مجموع داده‌ها ÷ تعداد داده‌ها. با ضرب دو طرف در تعداد داده‌ها، مجموع = میانگین × تعداد داده‌ها به دست می‌آید. پیش از جایگذاری مشخص کن تعداد داده‌ها شامل مقدار مجهول هست یا نه.

مثال محاسباتی با یک داده مجهول

میانگین پنج عدد ۱۴ است و چهار عدد معلوم ۹، ۱۲، ۱۷ و ۲۰ هستند. مجموع کل باید ۵×۱۴=۷۰ باشد. مجموع معلوم ۹+۱۲+۱۷+۲۰=۵۸ است؛ بنابراین x=۷۰-۵۸=۱۲. کنترل: (۹+۱۲+۱۷+۲۰+۱۲)÷۵=۷۰÷۵=۱۴.

وقتی چند داده ناشناخته داریم

اگر دو داده مجهول باشند، میانگین به‌تنهایی معمولاً برای یافتن هر دو مقدار کافی نیست؛ چون فقط مجموع آن دو را مشخص می‌کند. مثلاً اگر مجموع دو مجهول ۱۸ باشد، زوج‌های ۷ و ۱۱ یا ۸ و ۱۰ هر دو ممکن‌اند. برای تعیین جداگانه آن‌ها باید شرط دیگری مانند اختلاف، نسبت یا یکی از مقدارها داده شود.

تغییر میانگین پس از افزودن یا حذف داده

اگر داده‌ای به مجموعه اضافه شود، مجموع جدید برابر مجموع قبلی به‌علاوه داده تازه و تعداد جدید یک واحد بیشتر است. برای حذف نیز همان داده را از مجموع کم می‌کنیم و تعداد را یک واحد کاهش می‌دهیم. میانگین قبلی را نباید بدون توجه به تعداد داده‌ها با مقدار تازه جمع کرد.

چک‌لیست کنترل پاسخ

۱) تعداد واقعی داده‌ها را بشمار. ۲) میانگین را در تعداد ضرب کن. ۳) مجموع داده‌های معلوم را جداگانه حساب کن. ۴) برای مجهول تفریق انجام بده. ۵) پاسخ را در فرمول میانگین جایگذاری کن. همچنین مقدار مجهول باید با مقیاس داده‌ها سازگار باشد؛ اگر همه داده‌ها بین ۱۰ و ۲۰ هستند، پاسخ بسیار دور از این بازه نیاز به بررسی دوباره دارد.

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

میانگین، راهی فشرده برای بیان مجموع داده‌هاست. در سؤال‌های مجهول، ابتدا مجموع کل را بساز، سپس سهم داده‌های معلوم را کم کن و در پایان پاسخ را کنترل کن. این روش برای داده‌های صحیح، اعشاری و حتی کسرها یکسان است. برای تمرین بیشتر می‌توانی تفاوت میانگین ساده و میانگین وزنی را در مقاله‌های مرتبط بررسی کنی.

تمرین خودسنجی با پاسخ