تغییر واریانس با افزودن عدد ثابت؛ انتقال و مقیاس داده‌ها

پاسخ کوتاه

تغییر واریانس با افزودن عدد ثابت یک نکته مهم آمار دبیرستان است: اگر به همه داده‌ها عدد ثابتی اضافه کنیم، میانگین به همان اندازه جابه‌جا می‌شود، اما پراکندگی داده‌ها تغییر نمی‌کند. در مقابل، اگر همه داده‌ها را در عددی ثابت ضرب کنیم، فاصله‌ها از میانگین نیز به همان ضریب تغییر می‌کنند؛ بنابراین واریانس با مربع آن ضریب و انحراف معیار با قدرمطلق آن ضریب تغییر می‌کند. این تفاوت، پاسخ بسیاری از سؤال‌های ترکیبی آمار را کوتاه و مطمئن می‌سازد.

اصل انتقال همه داده‌ها

فرض کنید داده‌ها x₁ تا xₙ باشند و به هرکدام عدد c اضافه کنیم. میانگین جدید برابر میانگین قبلی به‌علاوه c است، زیرا جمع کل داده‌ها nc واحد زیاد می‌شود و پس از تقسیم بر n فقط c باقی می‌ماند. اما فاصله هر داده از میانگین ثابت می‌ماند: (xᵢ+c)-(میانگین+c)=xᵢ-میانگین. پس مجموع مربع فاصله‌ها و در نتیجه واریانس تغییر نمی‌کند.

اثر ضرب‌کردن در یک عدد

اگر همه داده‌ها در عدد a ضرب شوند، میانگین جدید a برابر میانگین قبلی است. فاصله هر داده از میانگین نیز a برابر می‌شود. چون واریانس بر پایه مربع فاصله‌ها ساخته می‌شود، واریانس جدید a² برابر واریانس قبلی است. انحراف معیار، که ریشه دوم واریانس است، |a| برابر می‌شود. اگر a منفی باشد، ترتیب داده‌ها برعکس می‌شود، ولی اندازه پراکندگی همان ضریب قدرمطلق را دارد.

تغییر واریانس با افزودن عدد ثابت؛ مثال محاسباتی

داده‌های ۲، ۴ و ۶ را در نظر بگیرید. میانگین ۴ است و فاصله‌ها از میانگین برابر ۲-، صفر و ۲ هستند؛ بنابراین واریانس جامعه برابر (۴+۰+۴)÷۳ یعنی ۸÷۳ است. اکنون به همه داده‌ها ۵ اضافه می‌کنیم و به ۷، ۹ و ۱۱ می‌رسیم. میانگین جدید ۹ است و فاصله‌ها همچنان ۲-، صفر و ۲ هستند؛ پس واریانس همان ۸÷۳ باقی می‌ماند.

مثال ضرب و ترکیب دو تغییر

اگر داده‌های قبلی را ابتدا در ۳ ضرب و سپس ۵ واحد جابه‌جا کنیم، داده‌های جدید ۱۱، ۱۷ و ۲۳ خواهند بود. میانگین جدید ۱۷ است و فاصله‌ها ۶-، صفر و ۶ هستند. واریانس جدید برابر ۳²×۸÷۳، یعنی ۲۴ است. اضافه‌کردن ۵ اثری بر واریانس نداشت و فقط ضرب در ۳ باعث شد واریانس نه سه برابر، بلکه ۹ برابر شود.

روش تشخیص سریع در تست

ابتدا تغییر داده را به شکل y=ax+c بنویسید. جمله c فقط مکان مرکز داده‌ها را جابه‌جا می‌کند و در واریانس اثری ندارد. جمله a پراکندگی را تغییر می‌دهد؛ بنابراین واریانس y برابر a² واریانس x و انحراف معیار y برابر |a| انحراف معیار x است. اگر سؤال فقط از جمع یک عدد ثابت صحبت می‌کند، پاسخ واریانس همان مقدار قبلی است و نیازی به محاسبه داده‌های جدید ندارید.

خطاهای رایج و کنترل پاسخ

اشتباه رایج این است که افزودن c را مانند ضرب‌کردن در c در نظر بگیریم یا واریانس را با انحراف معیار یکی بدانیم. همچنین در تعریف واریانس نمونه و جامعه، مخرج ممکن است متفاوت باشد، اما قانون انتقال و قانون مقیاس در هر دو تعریف یکسان است. برای کنترل، دو فاصله از میانگین را قبل و بعد از انتقال مقایسه کنید؛ اگر فاصله‌ها برابر ماندند، واریانس نیز باید ثابت بماند.

جمع‌بندی؛ چک‌لیست حل سؤال

برای تبدیل y=ax+c، میانگین جدید را a برابر میانگین قبلی به‌علاوه c بنویسید. سپس واریانس را a² برابر و انحراف معیار را |a| برابر کنید. اگر a=۱ باشد، فقط انتقال داریم و پراکندگی ثابت می‌ماند. اگر a=۰ باشد، همه داده‌ها یکسان می‌شوند و واریانس و انحراف معیار صفر خواهند شد. در پایان، واحد و علامت ضریب را نیز کنترل کنید.

تمرین خودسنجی با پاسخ