محاسبه واریانس داده‌های ساده؛ روش سریع با میانگین و جدول

پاسخ کوتاه

محاسبه واریانس داده‌های ساده یعنی اندازه‌گیری کنیم داده‌ها به‌طور متوسط چقدر از میانگین خود فاصله دارند. برای حل چنین پرسش‌هایی، ابتدا میانگین را پیدا کن، سپس فاصله هر داده از میانگین را به توان دو برسان، مجموع مربع فاصله‌ها را بر تعداد داده‌ها تقسیم کن و در پایان، اگر انحراف معیار خواسته شده بود، از نتیجه جذر بگیر. واریانس هرگز منفی نیست؛ اگر همه داده‌ها برابر باشند، مقدار آن صفر می‌شود.

واریانس چه چیزی را نشان می‌دهد؟

میانگین فقط مرکز داده‌ها را نشان می‌دهد، اما درباره پراکندگی اطلاعاتی نمی‌دهد. برای نمونه، دو مجموعه ۴، ۵، ۶ و ۱، ۵، ۹ میانگین یکسانی دارند، ولی مجموعه دوم پراکنده‌تر است. واریانس این تفاوت را با تبدیل فاصله‌ها به مربع، بدون خنثی‌شدن فاصله‌های مثبت و منفی، اندازه می‌گیرد. هرچه واریانس بزرگ‌تر باشد، داده‌ها معمولاً از میانگین دورترند.

محاسبه واریانس داده‌های ساده

برای داده‌های x۱ تا xₙ، میانگین از رابطه x̄=(x۱+...+xₙ)/n به دست می‌آید. سپس واریانس جامعه را با رابطه σ²=[(x۱−x̄)²+...+(xₙ−x̄)²]/n حساب می‌کنیم. در مسائل مدرسه‌ای که کل داده‌های داده‌شده بررسی می‌شوند، همین تقسیم بر n معمولاً مورد انتظار است. اگر صورت سؤال صریحاً از نمونه آماری و برآورد واریانس نمونه صحبت کند، ممکن است تقسیم بر n−۱ مطرح شود؛ بنابراین قبل از محاسبه، نوع داده را از متن تشخیص بده.

جدول چهارستونه برای جلوگیری از خطا

یک جدول با ستون‌های «داده»، «فاصله از میانگین»، «مربع فاصله» و «جمع» بساز. این روش علامت منفی را از مرحله توان دوم جدا می‌کند و احتمال جاافتادن یک داده را کم می‌کند. همچنین جمع فاصله‌های خام از میانگین باید صفر شود؛ اگر صفر نشد، میانگین یا یکی از تفاضل‌ها را دوباره بررسی کن. این کنترل کوتاه، خطای محاسباتی رایج را زود آشکار می‌کند.

مثال محاسباتی کامل

داده‌های ۲، ۴، ۶ و ۸ را در نظر بگیر. مجموع برابر ۲۰ و تعداد داده‌ها ۴ است، پس میانگین ۵ می‌شود. فاصله‌ها به‌ترتیب ۳−، ۱−، ۱ و ۳ هستند و مربع آن‌ها ۹، ۱، ۱ و ۹ است. مجموع مربع فاصله‌ها ۲۰ است؛ بنابراین واریانس جامعه برابر ۲۰÷۴=۵ خواهد بود. انحراف معیار نیز √۵ است. توجه کن که وجود فاصله‌های منفی مشکلی ایجاد نمی‌کند، چون همه فاصله‌ها پیش از جمع به توان دو رسیده‌اند.

روش کوتاه‌تر با میانگین مربع‌ها

گاهی از رابطه واریانس=میانگین مربع داده‌ها−مربع میانگین استفاده می‌شود. در مثال بالا، مربع داده‌ها ۴، ۱۶، ۳۶ و ۶۴ هستند؛ میانگین آن‌ها ۱۲۰÷۴=۳۰ است. مربع میانگین نیز ۲۵ است، پس واریانس ۳۰−۲۵=۵ می‌شود. این روش برای داده‌های بزرگ‌تر سریع است، اما اگر اعداد نزدیک باشند، روش جدول معمولاً از نظر کنترل خطا مطمئن‌تر است.

دام‌های رایج در پاسخ‌گویی

واریانس را با میانگین فاصله‌های معمولی اشتباه نکن؛ میانگین فاصله‌های دارای علامت همیشه می‌تواند صفر شود. همچنین ریشه گرفتن مربوط به انحراف معیار است، نه خود واریانس. تقسیم بر تعداد داده‌ها را نیز بی‌دلیل با تعداد داده‌ها منهای یک جایگزین نکن. در پایان، مقدار واریانس باید صفر یا مثبت باشد؛ پاسخ منفی حتماً نشانه اشتباه محاسباتی است.

جمع‌بندی و چک‌لیست حل

برای هر سؤال، این چهار گام را انجام بده: ۱) تعداد داده‌ها و مجموع را بنویس؛ ۲) میانگین را حساب و با تعداد داده‌ها کنترل کن؛ ۳) فاصله‌ها و مربع آن‌ها را در جدول ثبت کن؛ ۴) مجموع مربع فاصله‌ها را بر مخرج مناسب تقسیم کن. اگر پرسش انحراف معیار خواست، فقط در مرحله آخر جذر بگیر. با این ترتیب، هم مفهوم پراکندگی روشن می‌ماند و هم محاسبات قابل بررسی است.

تمرین خودسنجی با پاسخ