بردار در کنکور؛ مؤلفهها، اندازه، ضرب داخلی و زاویه
آموزش عملیات برداری، طول بردار، ضرب داخلی و تشخیص عمودبودن همراه مثالهای هندسی و تستی.
پاسخ کوتاه
بردار هم اندازه و هم جهت دارد. تبدیل شکل هندسی به مؤلفهها، محاسبه جمع و تفریق و استفاده از ضرب داخلی برای زاویه یا عمودبودن، مسیر اصلی تستهای بردار است.
ساخت بردار از دو نقطه
بردار AB از تفریق مختصات A از B ساخته میشود. اگر A(x₁,y₁) و B(x₂,y₂) باشند، AB=(x₂-x₁,y₂-y₁). جابهجایی ابتدا و انتها علامت هر دو مؤلفه را عوض میکند.
اندازه و بردار واحد
اندازه بردار (a,b) برابر √(a²+b²) است. برای ساخت بردار واحد همجهت، هر مؤلفه را بر اندازه تقسیم کن. بردار صفر اندازه صفر دارد و جهت یا بردار واحد متناظر برای آن تعریف نمیشود.
جمع و ضرب عددی
جمع بردارها مؤلفهبهمؤلفه است. ضرب در عدد طول را در قدرمطلق آن عدد ضرب میکند و اگر عدد منفی باشد جهت را برمیگرداند. ترکیب خطی بردارها در مسائل نقطه میانی و تقسیم پارهخط کاربرد دارد.
ضرب داخلی و زاویه
u·v برابر حاصل جمع ضرب مؤلفههای متناظر و نیز |u||v|cosθ است. اگر ضرب داخلی صفر و هر دو بردار ناصفر باشند، بردارها عمودند. علامت ضرب داخلی تند یا بازبودن زاویه را نشان میدهد.
مثال و تست کوتاه
برای u=(1,2) و v=(2,-1)، ضرب داخلی 2-2=0 است؛ پس بردارها عمودند. اندازه هر دو √5 است و از رابطه cosθ=0 نتیجه میشود زاویه 90 درجه است.
چکلیست حل تست
- بردار AB را با B-A بساز.
- بردار صفر جهت مشخص ندارد.
- ضرب داخلی صفر معیار عمودبودن بردارهای ناصفر است.